二项式反演

令\(g_n\)表示至多选\(n\)个元素

\(f_n\)表示恰好选\(n\)个元素

则有

\[g_n=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}f_i} \]

\[f_n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{n-i}g_i \]

证明：

\[\begin{aligned} f_n&=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{n-i}\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}f_j\\ &=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}\binom{n}{i}\binom{i}{j}(-1)^{n-i}f_j\\ &=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}(-1)^{n-i}f_j\\ &=\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=j}^{n}\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}(-1)^{n-i}f_j\\ &=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\sum_{i=j}^{n}\binom{n-j}{i-j}(-1)^{n-i}f_j\\ \end{aligned} \]

令\(k=i-j\)

\[\begin{aligned} &=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\sum_{k=0}^{n-j}\binom{n-j}{k}(-1)^{n-j-k}f_j\\ \end{aligned} \]

又因二项式定理

\[(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k} \]

我们构造令 \(x=1\space y=-1\)

则有

\[\begin{aligned} &(1-1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{k}(-1)^{n-k}\\ \implies&(1-1)^{n-j}=\sum_{k=0}^{n-j}\binom{n-j}{k}1^{k}(-1)^{n-j-k}\\ \end{aligned} \]

注意到当\(n-j\neq0\)时\(0^{n-j}\)为\(0\)，而\(n-j=0\)时\(0^{0}\)无意义

而当\(n=j\)时,\(k\)只能为\(0\)

\[\begin{aligned} &\sum_{k=0}^{n-j}\binom{n-j}{k}1^{k}(-1)^{n-j-k}=\binom{0}{0}\cdot1^{0}\cdot(-1)^{0}=1\\ &\implies\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\sum_{k=0}^{n-j}\binom{n-j}{k}(-1)^{n-j-k}f_j=f_n\\ &\implies f_n=f_n \end{aligned}\]

故有

\[g_n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f_i\Longleftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{n-i}g_i \]

证毕

补充：

在容量为\(n\)的集合中

若\(g_k\)表示至少选\(k\)个元素

\(f_k\)表示恰好选\(k\)个元素

则有

\[g_k=\sum_{i=k}^{n}\binom{i}{k}f_i \Longleftrightarrow f_k=\sum_{i=k}^{n}\binom{i}{k}(-1)^{i-k}g_i \]

证明过程与上述过程类似,不再赘述

补充一个知识点

\[\binom{n}{m}\binom{m}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k} \]

证明：

\[\begin{aligned} \binom{n}{m}\binom{m}{k}&=\frac{n!m!}{m!(n-m)!k!(m-k)!}\\ &=\frac{n!}{k!(m-k)!(n-m)!}\\ &=\frac{n!(n-k)!}{k!(n-k)!(m-k)!(n-m)!}\\ &=\frac{n!(n-k)!}{k!(n-k)!(m-k)!((n-k)-(m-k))!}\\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot \frac{(n-k)!}{(m-k)!((n-k)-(m-k))!}\\ &=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k} \end{aligned}\]

证毕