三元环计数问题

今天考了道三元环计数发现自己完全不会……赶紧补补。

无向图三元环计数

• 统计每个点的度数，对于一条无向边\(<u,v>\)，若\(d_u=d_v\)则从编号小的点向编号大的点连有向边，否则从\(d\)较小的向较大的点连有向边。
• 这样无向图就变为了一个\(DAG\)模型，然后扫一下每个点\(u\)，对其出点\(v\)打标记\(vis_v=u\)，再对每个出点\(v\)的出点\(w\)判断是否满足\(vis_w=u\)即可。
• 这样定向后可以保证是个有向无环图。
• 为什么呢，要想定向存在环，则这个环上的点度数必须相同，由于保证了编号从小到大走，所以不存在。
• 复杂度：\(m\sqrt m\)
• 分别分析度数小于等于\(\sqrt m\)的点和大于的点即可证明。

有向图三元环计数

• 其实和无向图差不多，转化成无向图后重定向，因为三元环个数不超过\(m\sqrt m\)，所以可以把所有三元环全部找出来，然后暴力判断。
• 复杂度同上。

竞赛图的三元环计数

• 竞赛图的三元环计数存在线性算法。
• 对于一个竞赛图，它要么是一个拓扑图，要么存在一个三元环，具体证明比较显然……。
• 对于任意一个竞赛图的三元环计数存在一个线性的容斥做法，考虑总共的三元环为\(C_{n}^{3}\)，对于第\(i\)个点出度集合为\(P_i\)，显然对于三元组\((i,x,y)\)且\(x,y\)属于\(P_i\)，那么一定不组成三元环，而且这样的三元组只会在第\(i\)点枚举一次。
• 所以答案就是：

\[C_{n}^{3}-\sum C_{|P_i|}^{2} \]

• 直接算即可。