【BZOJ】【2765】【JLOI2010】铁人双项比赛

计算几何/半平面交

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　　本来我是想去写POJ 1755的，然后想起了这道跟它很像的题，但应该是弱化版，所以就先写了这个……

　　我们可以发现每个人的总用时，与k是呈一次函数关系的：$time_i=\frac{k}{Vrun_i}+\frac{S-k}{Vride_i}$

　　然而我们要找的是某个k，使得$min(time_n-time_i)$最大

　　那么就是一个线性规划问题了……这个也可以用半平面交来做……（蒟蒻并不会单纯形）

　　下面的部分为了偷懒简洁我就用$a_i$和$b_i$来代替两种速度……

　　我一开始想的做法是：维护一个$y=(\frac{1}{a_i}-\frac{1}{b_i})*x+\frac{S}{b_i}$的最小值（上凸壳？），然后由于线性分段函数的极值一定在分界点处取到（BZOJ 1038 瞭望塔），所以可以枚举分界点计算答案。

　　然而不会写……后来膜拜了lyd神犇的代码，发现：

　　　　这题$n\leq 100$，所以找到可能成为分界点的点，即所有直线的交点，暴力更新答案就好了……

　　　　然后还有一个地方是将不等式重新变形了一下，将第n条直线直接减到前面n-1条直线中……

　　无限ym……

/**************************************************************
    Problem: 2765
    User: Tunix
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:40 ms
    Memory:1276 kb
****************************************************************/
 
//BZOJ 2765
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
using namespace std;
 
const int N=110;
/*******************template********************/
typedef long double lf;
#define eps 1e-12
int n,num;
lf a[N],b[N],c[N],d[N],S,anst,ansk;
 
void calc(lf k){
    lf t=1e100;
    F(i,1,n-1) t=min(t,k*c[i]+d[i]);
    if (t>anst) anst=t,ansk=k;
}
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("2765.in","r",stdin);
//  freopen("2765.out","w",stdout);
#endif
    cin >>S>>n;
    F(i,1,n) cin >> a[i] >> b[i];
    F(i,1,n-1){
        c[i]=1/a[i]-1/b[i]-1/a[n]+1/b[n];
        d[i]=S/b[i]-S/b[n];
    }
 
    anst=-1e100;
    F(i,1,n-1) F(j,i+1,n-1){
        if (fabs(c[i]-c[j])<eps) continue;
        lf k=(d[j]-d[i])/(c[i]-c[j]);
        if (k<eps || k>S-eps) continue;
        calc(k);
    }
    calc(0); calc(S);
    anst*=3600;
    if (anst<-eps) puts("NO");
    else{
        if (anst<eps) anst=0;
        cout<<setprecision(2)<<fixed<<ansk<<' '<<S-ansk<<' ';
        cout<<setprecision(0)<<fixed<<anst<<endl;
    }
    return 0;
}

2765: [JLOI2010]铁人双项比赛

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Description

铁 人双项比赛是吉林教育学院的一项传统体育项目。该项目比赛由长跑和骑自行车组成，参赛选手必须先完成k公里的长跑，然后完成r公里的骑车，才能到达终点。 每个参赛选手所擅长的项目不同，有的擅长长跑，有的擅长骑车。如果总赛程s=k+r一定，那么K越大，对擅长长跑的选手越有利；k越小，对擅长骑车的选手 越有利。

 

现在给定总赛程s，以及每个选手长跑和骑车的平均速度，请你求出对于某个指定的选手最有利的k和r。所谓最有利，是指选择了这个k和r后，该选手可以获得冠军，且领先第2名尽量地多。

Input

你的程序从文件读入输入数据。

输入的第一行是两个正整s和n，s表示总赛程（单位为公里，s≤2³¹），n表示参赛总人数（2≤n≤100）。

接下来的n行每行是两个实数，分别表示每个选手长跑的平均速度和骑车的平均速度（单位为千米/小时）。

第n个选手就是指定的选手，你的任务是求出对他最有利的k和r。

Output

 

你的程序的输出包括三个数k，r, t，分别表示对第n号选手最有利的k和r（浮点数，保留小数点后2位），以及在选择k和r的情况下，第n号选手最多可以领先第2名多少秒（四舍五入到整数）；如果另一个选手和该选手并列第一，则t _i=0。倘若无论选择什么k，r都不能使第n号选手获胜，则输出“NO”。

Sample Input

100 3
10.0 40.0
20.0 30.0
15.0 35.0

Sample Output

14.29 85.71 612

HINT

Source

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