2024-2025 集训队互测 Round 8 - 熟练

约定任选一个点为根，使其变为一棵有根树。

结论：答案就是被覆盖次数最多的点被覆盖的次数。

考虑证明：我们每次令被覆盖次数最多的点为关键点，然后考虑选出若干条路径，使得其互不相交，并且包含所有关键点，并将其染成一种颜色并把它们从图中删掉，不再存在。可以证明必定存在一种选的方案。我们选择一个祖先没有关键点的关键点，然后选择一条以其为 lca 的路径，并将其染色，删除，重复直至这轮开始的关键点全部变为普通点。可以证明对于每次选择的点，至少有一条合法的路径，不然它的父亲就是关键点。并且这一轮选出的路径显然不相交。这样再进入下一轮，钦定新的关键点，进行上述过程。最终所有点被覆盖次数都会变为 \(0\)，也就是所有路径都被染色。

上面的证明已经包含了构造过程，按照其模拟即可。容易发现每次选择 dfs 序最小的关键点即可。那么就是简单的路径修改，全局查询最小值极其位置。