【数学】扩展欧几里得算法

欧几里得算法：

辗转相除计算两个数的最大公约数，求gcd(a,b)。

证明：

设a=b∗p+q，则gcd(b,q)|b ，gcd(b,q)|a，故gcd(b,q)|gcd(a,b) 。
同样q=a−b∗p，则gcd(a,b)|q，故gcd(a,b)|gcd(b,q).
可得gcd(a,b)=gcd(b,a,最终得到gcd(a,b)=gcd(c,0)=c

代码：

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

扩展欧几里得算法

存在整数对(x,y)使得ax+by=gcd(a,b)

证明：

设a>b
当b=0时，a∗1+b∗0=a=gcd(a,b)，此时x=1,y=0
当b!=0时，设
a∗x1+b∗y1=gcd(a,b)
b∗x2+a%b∗y2=gcd(b,a%b)
由于gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以有a∗x1+b∗y1=b∗x2+a%b∗y2
将a%b=a−(a/b)∗b代入，
得到 a∗x1+b∗y1=a∗y2+b∗x2−(a/b)∗b∗y2
即 x1=y2,y1=x2−(a/b)∗y2
因此可以递归的定义exgcd，同样b=0时递归结束。返回最大公约数。

代码：

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    int d = a;
    if(b != 0) {
        d  = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a/b) * x;
    }else {
        x = 1, y = 0;
    }
    return d;
}

应用：

求解不定方程：

若c%gcd(a,b)=0，则存在整数对(x,y)，使得a∗x+b∗y=c

通过上面的方法可得到一组特解x0，y0使得a∗x+b∗y=gcd(a,b)，那么如何在无穷多个解中求出x，y最小正整数解。

证明：

首先 a∗x0+a∗k∗b/gcd(a,b)+b∗y0−a∗k∗b/gcd(a,b)=gcd(a,b)
即 a∗(x0+k∗b/gcd(a,b))+b∗(y0−k∗a/gcd(a,b))=gcd(a,b)
通解为x=x0+k∗b/gcd(a,b)，y=y0−k∗a/gcd(a,b)，其中k=...−2,−1,0,1,2...
在所有解中最小的正整数为(x0+b/gcd(a,b))%(b/gcd(a,b))，
所以对于方程a∗x+b∗y=c，最小正整数解（以x为例）为(x0∗c/gcd(a,b)+b/gcd(a,b))%(b/gcd(a,b))
注意：若b为负数，需将b转换为正数。

代码:

int cal(int a, int b, int c)
{
    int x, y;
    int gcd = extgcd(a, b, x, y);
    if(c % gcd != 0) return -1;
    x *= c/gcd;
    b /= gcd;
    if(b < 0) b = -b;
    int ans = x % b;
    if(ans <= 0) ans += b;
    return ans;
}

同余方程：

根据上面的内容，我们可以得到：

• a∗x≡b(modn)，转化为a∗x+n∗y=b，当 b%gcd(a,n)=0时，方程有 gcd(a,n) 个解。
• a∗x≡1(modn)，如果gcd(a,n)=1，则方程有唯一解。