扩展欧几里得 Exgcd

其实是一年多前写的，今天又学到了遂拿出来复习一下。

定义：

扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展, 其目的是为了找到一个整数解关于未知数 \(x\) 和 \(y\) 的线性同余方程 \(ax+by=c\) 的整数解。

推理过程：

\(ax_1+by_1=gcd(b,a\bmod b)\)

\(bx_2+(a\bmod b)y_2=gcd(b,a\bmod b)\)

由欧几里得定理可知：\(gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)\)

\(\therefore ax_1+by_1=bx_2+(a\bmod b)y_2\)

\(\because a\bmod b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b\)

\(\therefore ax_1+by_1=bx_2+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)y_2\)

\(\therefore ax_1+by_1=ay_2+bx_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by_2\)

\(\therefore ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2)\)

\(\therefore x_1=y_2, y_1=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2\)

将 \(x_2\) , \(y_2\) 不断代入递归求解直到 \(b=0\) ，递归 \(x=1\) , \(y=0\) 回去求解。

代码实现：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}