【BZOJ3784】树上路径
题目大意
给定一个\(N\)个结点的树，结点用正整数\(1..N\)编号。每条边有一个正整数权值。用\(d(a,b)\)表示从结点\(a\)到结点\(b\)路边上经过边的权值。其中要求\(a < b.\)将这\(n*(n-1)/2\)个距离从大到小排序，输出前\(M\)个距离值。
题目分析
统计树上路径的问题显然需要淀粉质（好毒瘤啊，连续考了两天点分治）。
由于前\(M\)大路径难以直接统计，而我们又很擅长统计长度大于\(l\)的路径个数，因此考虑首先二分答案求出第\(M\)大路径的长度\(l\)，再统计长度大于\(l\)的路径。
分析一波时间复杂度，点分\(O(n\ logn)\)，统计路径时为了方便，我们需要排序后二分（又一个\(logn\)），本身二分答案就是\(logn\)，这样一来时间复杂度达到了\(O(n\ log^3n)\)，难以接受。
考试的时候想到一些小优化，如把点分后的每一个子树的根记录下来。当时也想到了把路径存下来，但不知道为什么就认为空间复杂度不正确立马否定掉了。实际上就是要将路径存下来，而且空间复杂度为\(O(n\ logn)\)。这样我们只需要最初建好点分树并排好序，每次只需要对每一个点为根的路径二分一下\(O(n\ logn)\)，如此一来算法的时间复杂度瓶颈为\(O(n\ log^2n)\)，本题得到完美解决。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Maxn=50005;
int n,m,h[Maxn],G[Maxn];
int rt,root,totsize,size[Maxn],mx[Maxn];
int lim,path[Maxn];ll ans;
vector<int>v[Maxn],g[Maxn],Ans;
bool vis[Maxn];
struct edge{int to,next,w;}e[Maxn*2],f[Maxn*2];
int getint(){
int w=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))ch!='-'?:f=-1,ch=getchar();
while(isdigit(ch))w=w*10+ch-'0',ch=getchar();
return w*f;
}
void addedge(int x,int y,int z){
static int cnt;
e[++cnt]=(edge){y,h[x],z};h[x]=cnt;
}
void AddEdge(int x,int y){
static int cnt;
f[++cnt]=(edge){y,G[x]};G[x]=cnt;
}
void getroot(int x,int fa){
size[x]=1;mx[x]=0;
for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
int y=e[i].to;
if(vis[y]||y==fa)continue;
getroot(y,x);
size[x]+=size[y];
mx[x]=max(mx[x],size[y]);
}
mx[x]=max(mx[x],totsize-size[x]);
if(mx[x]<mx[root])root=x;
}
void getsize(int x,int fa){
totsize++;
for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
int y=e[i].to;
if(vis[y]||y==fa)continue;
getsize(y,x);
}
}
void dfs(int x,int fa,int dis,vector<int>&v){
v.push_back(dis);
for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
int y=e[i].to;
if(vis[y]||y==fa)continue;
dfs(y,x,dis+e[i].w,v);
}
}
void Build(int x){
vis[x]=1;v[x].push_back(0);
for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
int y=e[i].to;
if(vis[y])continue;
dfs(y,x,e[i].w,v[x]);
}
sort(v[x].begin(),v[x].end());
for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
int y=e[i].to;
if(vis[y])continue;
totsize=root=0;
getsize(y,x);getroot(y,x);
dfs(y,x,e[i].w,g[root]);
sort(g[root].begin(),g[root].end());
AddEdge(x,root);Build(root);
}
}
ll calc(vector<int>&v){
ll ret=0;
for(int i=0;i<v.size();i++)ret+=v.end()-lower_bound(v.begin(),v.end(),lim-v[i]);
return ret;
}
void solve(int x){
ans+=calc(v[x]);
for(int i=G[x];i;i=f[i].next){
int y=f[i].to;
ans-=calc(g[y]);
}
if(ans>=m)return;
for(int i=G[x];i;i=f[i].next){
int y=f[i].to;
solve(y);
}
}
bool Judge(int mid){
lim=mid;ans=0;
solve(rt);
return ans>=m*2;
}
void dfs2(int x,int fa,int dis){
path[++path[0]]=dis;
for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
int y=e[i].to;
if(vis[y]||y==fa)continue;
dfs2(y,x,dis+e[i].w);
}
}
void Count(int x){
path[0]=0;path[++path[0]]=0;
for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
int y=e[i].to;
if(vis[y])continue;
int now=path[0];
dfs2(y,x,e[i].w);
for(int j=now+1;j<=path[0];j++){
int pos=lower_bound(path+1,path+now+1,lim-path[j])-path;
for(int k=pos;k<=now;k++)Ans.push_back(path[j]+path[k]);
}
sort(path+now+1,path+path[0]+1);
inplace_merge(path+1,path+now+1,path+path[0]+1);
}
}
void solve2(int x){
vis[x]=1;Count(x);
for(int i=G[x];i;i=f[i].next){
int y=f[i].to;
solve2(y);
}
}
int main(){
n=getint();m=getint();
for(int i=1;i<n;i++){
int x=getint(),y=getint(),z=getint();
addedge(x,y,z);addedge(y,x,z);
}
mx[0]=n+1;totsize=n;root=0;
getroot(1,0);rt=root;
Build(root);
int l=0,r=5e8;
while(l<=r){
int mid=(l+r)>>1;
if(Judge(mid))l=mid+1;
else r=mid-1;
}
memset(vis,0,sizeof(vis));
lim=l;ans=0;solve2(rt);
while(Ans.size()<m)Ans.push_back(l-1);
sort(Ans.begin(),Ans.end(),greater<int>());
for(int i=0;i<m;i++)cout<<Ans[i]<<"\n";
}
