复变函数，启动！计应数番外编~对冒险主义的姚发起华丽叛逆的说！！！

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复变函数= Complex function(第2版) 王绵森 高等教育出版社 2020

怎么会有计应数教授一节课速通复变函数的呵。

复平面，不在话下！

\(\Arg z\)：辐角 集合，包含所有以 \(2\pi\) 为周期的辐角。

\(\arg z\)：辐角 主值，是辐角集合中 \((-\pi,\pi]\) 的那个辐角。

复球面：有一个球，在复平面上方，与平面切于原点；对于复平面上一个点，连接其与球上方顶点，该直线与球面有两个交点，一个是上方顶点，另一个是该复数在复球面上投影。

一切复数唯一对应复球面上一个点；反之不亦然，因为球面北极没有对应点。将其看作特殊复数 \(\infty\)，\(\C\cup\{\infty\}\) 被称作扩充复平面 \(\C^*\)。

• 邻域！

• 开集！

• 区域：连通的开集

• 区域的 边界：任意邻域都同时有区域内的点和区域外的点的元素构成集合。其中元素称为 边界点。

• 区域和边界共同构成 闭区域 或 闭域。

• 有界、无界。

• 连续曲线：参数方程每一维均连续。光滑：可微且正则。分段光滑：光滑曲线拼接而成。

• 无重点的连续曲线称作简单曲线或 Jordan 曲线。

• 起讫点重合的简单曲线称为简单闭曲线。

• Jordan 定理：简单闭曲线分割平面。

• 单连通域：作区域内部的简单闭曲线，曲线内部所有点均属于区域。

• 多连通域：非单连通的区域。

• 单值复变函数：\((G\sube\C)\to\C\)。

• 多值复变函数：\((G\sube\C)\to\{\C,\C,\C,\dots\}\)。复数的 \(\sqrt[n]{z},\Arg z\) 都是多值复变函数。

• 反函数：可以是单值或多值。

• 极限：去心邻域中值都趋近某值。

• 复变函数与实变函数极限对应定理：若定义在 \(z_0=x_0+\i y_0\) 去心邻域内的函数 \(f(z)=u(z)+\i v(z)\)，\(w_0=u_0+\i v_0\)，则 \(\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A\) 的充要条件是 \(\lim\limits_{z\to z_0}u(z)=u_0\) 且 \(\lim\limits_{z\to z_0}v(z)=v_0\)。

• 连续性：\(\lim=f\)。连续当且仅当实部虚部分别连续。

• 若 \(\lim\limits_{\Delta z\to0}\dfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\) 存在，则称其可导，导数为极限值。

• 复变函数的可导和可微等价。

• 就算实部虚部分别可微，复变函数也不一定可微。需要额外条件（C-R 方程，见下）

• 若在 \(z_0\) 和其邻域内处处可导，则称在 \(z_0\) 解析 analytic。处处解析则称 在区域内解析，亦可称其为 解析函数 analytic function、全纯函数 holomorphic function 或正则函数 regular function。

• 不解析点称为 奇点 singularity。

• 区域内解析和区域内可导等价；但是单点可导和解析不等价。

• 多项式函数处处解析，有理分式函数在分母非零处解析，分母为零点为奇点。

• 设 \(f(z)=u(x,y)+\i v(x,y)\)；若 \(f\) 在 \(z_0\) 可导，则应有 \(\dfrac{\p u}{\p x}+\i\dfrac{\p v}{\p x}=f'(z_0),-\i\dfrac{\p u}{\p y}+\dfrac{\p v}{\p y}=f'(z_0)\)。因此，可导的一个必要条件是 \(\dfrac{\p u}{\p x}=\dfrac{\p v}{\p y},\dfrac{\p v}{\p x}=-\dfrac{\p u}{\p y}\)，称作 Cauchy-Riemann 方程或者 C-R 方程。

• 虽然单点满足 C-R 方程并不能推出单点可导，但是实部虚部处处可微并且区域内处处满足 C-R 方程却可以推出区域内处处可导。

• 实部虚部处处可微，由多元微积分相关性质，等价于存在连续偏导。于是，实部虚部对应实变函数存在处处连续偏导且处处满足 C-R 方程等价于函数处处解析。

• 复平面上指数函数：\(\exp z=e^x(\cos y+i\sin y)\)，亦可直接记作 \(e^z\)。\(|e^z|=e^x,\Arg e^z=y+2k\pi\)。

• 满足加法定理 \(e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}\)，且是周期为 \(2k\pi\i\) 的指数。

• 【复平面指数函数其实是实数轴指数函数 解析 延拓，即拓展一解析函数的定义域，使得其在新定义域内仍解析】

• \((\exp z)'=\exp z\)。

• 复变对数函数 \(\Ln z\)：是复变指数函数的反函数。

• 是多值复变函数：元素有 \(2k\pi\i\) 的周期。事实上，\(\Ln z=\ln|z|+\i\Arg z\)。

• 若 \(\Arg z\) 取主值 \(\arg z\)，则得到 \(\Ln z\) 的主值 \(\ln z=\ln|z|+\i\arg z\)。

• 复变对数函数的主值函数是正半轴对数函数的解析延拓：其扩展至除原点外整个复平面。

• 满足 \(\Ln z_1z_2=\Ln z_1+\Ln z_2\)，\((\Ln z)'=\dfrac1z\)。

• 复变乘幂：\(a^b=\exp(b\Ln a)\)。

• 当 \(b\) 为整数时，复变乘幂是单值的；为有理数 \(\dfrac pq\) 时，有 \(q\) 个值；为其它值时，有无穷个值。

• 以 \(a\) 为变量写成 \(z^b\) 时，就是复变幂函数。\((z^b)'=bz^{b-1}\)。

• 复变三角：\(\cos z=\dfrac{e^{\i z}+e^{-\i z}}2\)，\(\sin z=\dfrac{e^{\i z}-e^{-\i z}}{2\i}\)

• 复变双曲正弦、余弦函数 \(\sinh z=\dfrac{e^z-e^{-z}}2,\cosh z=\dfrac{e^z+e^{-z}}2\)。

• 复变反三角函数：\(\Arccos z=-\i\Ln(z+\sqrt{z^2-1}),\Arcsin z=-\i\Ln(\i z+\sqrt{1-z^2}),\Arctan z=-\dfrac\i2\Ln\dfrac{1+\i z}{1-\i z}\)。

开积！

• 有向曲线：为曲线规定一个方向，称作正向；反方向称作负向。

• 简单闭曲线的定向总是逆时针（也即左侧是曲线内部）（有时称作自然正向）

• 简单光滑有向曲线或简单分段光滑有向曲线 \(C\)，令起讫点分别为 \(A,B\)，对于划分 \(A=z_0,\dots,z_n=B\)，其 Riemann 和 \(\sum f(\xi_k)(z_k-z_{k-1})\)。如果当最长划分长度趋于 \(0\) 时所有 Riemann 和趋于同一值则称其为沿 \(C\) 的积分，记作 \(\int_Cf(z)\d z\)。特别地，若 \(C\) 是闭曲线，可记作 \(\oint_Cf(z)\d z\)。

• 对于连续的 \(f\)，将其拆成实部虚部的组合，可得 \(\int_Cf(z)\d z=\int_C(u\d x-v\d y)+\i\int_C(v\d x+u\d y)\)。

• 若曲线参数化为 \(f(z(t)),t\in[\alpha,\beta]\) 且正向为 \(t\) 增加方向，则 \(\int_Cf(z)\d z=\int_\alpha^\beta f(z(t))z'(t)\d t\)，复变函数积分即变为实变函数定积分。

• 积分估值不等式 \(\left|\int_Cf(z)\d z\right|\leq\int_C|f(z)|\d z\)。

• Length Theorem（？）：\(|\int_Cf(z)\d z|\leq\text{length}(C)\times\max_C|f(z)|\)。

• 由上述定理，通过极坐标参数方程代换，得到对于一切 \(z_0,r\)，沿以 \(z_0\) 为圆心、\(r\) 为半径的圆的积分 \(\oint_{|z-z_0|=r}\dfrac{\d z}{(z-z_0)^{n+1}}=\begin{cases}2\pi\i&(n=0)\\0&(n>0)\end{cases}\)。下文有大用处。

• 经历一大坨答辩后，得到 Cauchy-Goursat 基本定理：若 \(f(z)\) 在简单闭曲线 \(C\) 及其围成区域内处处解析，那么 \(f(z)\) 沿 \(C\) 积分为零，也即 \(\oint_Cf(z)\d z=0\)。【注意：要求是简单、且自身及围成的区域处处解析）

• 直接推论：单连通域内处处解析函数沿任意简单闭曲线积分为零。

• 进一步推广至多连通域，得到 复合闭路定理：令 \(C\) 是多联通域 \(D\) 中简单闭曲线，\(C_1,\dots,C_k\) 是 \(C\) 内部两两不交、不互相包含的曲线集合，且有 \(C,C_1,\dots,C_k\) 所夹区域被完全包含于多连通域内（也即，\(C_1,\dots,C_k\) 从多连通域内“挖掉”了若干不属于多连通域的部分），则对于在 \(D\) 中解析的 \(f\)，那么：

  • \(\oint_Cf(z)\d z=\sum\oint_{C_i}f(z)\d z\)，其中所有曲线均取（自然）正向。
  • \(\oint_\Gamma f(z)\d z=0\)，其中 \(\Gamma\) 指取正向的 \(C\) 和取负向的 \(C_1,\dots,C_k\)。

• 同时又有推论 闭路变形原理：解析函数沿闭曲线积分不因闭曲线的连续变形而改变值，只要闭曲线的变形不经过奇点。

• 由 Cauchy-Goursat 基本定理，处处解析函数的积分值仅与起讫点相关。于是固定起点在 \(z_0\)，让终点成为变量 \(z\)，于是起讫点积分就成为单值函数 \(F(z)\)，满足 \(F'(z)=f(z)\)。

• 满足 \(\varphi'(z)=f(z)\) 的函数 \(\varphi\) 被称作 原函数。任两个原函数间相差常数，且 \(F(z)\) 是一个合法原函数。

• 所有原函数构成的整体记作 \(\int f(z)\d z=F(z)+C\)。同时，单连通域内处处解析的函数 \(f\) 有 \(\int_{z_0}^{z_1}f(z)\d z=F(z_1)-F(z_0)\)。

• \(\dfrac{f(z)}{z-z_0}\) 在 \(z_0\) 可能不解析；但是可以通过不断向 \(z_0\) 缩小，让 \(f(z)\) 的值逐渐接近 \(f(z_0)\)，\(\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\d z\) 接近 \(\oint_C\dfrac{f(z_0)}{z-z_0}\d z\)；后者因为 \(\oint_C\dfrac1{z-z_0}\d z\) 可以连续变形为套着 \(z_0\) 的圆，而这个圆上 \(\dfrac1{z-z_0}\) 的积分前面提到过是 \(2\pi\i\)，因此这个值有接近 \(f(z_0)2\pi\i\) 的期望。

• 事实上，有 Cauchy 积分公式：在区域 \(D\) 内处处解析的 \(f\)，内部完全含于 \(D\) 的 \(C\)，\(C\) 内部任一点 \(z_0\)，有 \(f(z_0)=\dfrac1{2\pi\i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\d z\)。通过 \(\epsilon-\delta\) 语言可证得。

• 取 \(C\) 为套着 \(z_0\) 的圆周，得到 \(f(z_0)=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\pi})\d\theta\)，也即，解析函数在圆心处的值等于其在圆周上的平均。

• 解析函数的导数仍为解析函数，事实上解析函数 \(\in\scr C^\infty\)，且 \(f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\d\xi\)（高阶导数公式），其中 \(C\) 是任一环绕 \(z\) 的正向简单闭曲线，其内部全含于 \(D\)。证明就靠嗯归纳。Cauchy 积分公式是高阶导数公式 \(n=0\) 时的特例。

• 虽然其是通过积分来表示导数，不过最常见的应用还是通过高阶导数来算环路积分。

• Cauchy 不等式：\(|f^{(n)}(z_0)|\leq\dfrac{n!M(R)}{R^n}\)，其中 \(M(R)\) 是以 \(z_0\) 为圆心的 \(R\)-圆周上 \(|f(z)|\) 的 \(\max\)。

• Liouville 定理：在整个复平面上解析且有界的函数恒为常数。

• Morera 定理：环路积分恒零函数为解析函数。

• 事实上，如果 \(f\) 是 conservative force，那么其原函数 \(F\) 就是其上定义的一个势能。conservative force 就是满足环路功为零的力，由 Morera 定理其是解析函数，因此其总是可以定义势能。

• 复数数列。其收敛于 \(a+\i b\)，当且仅当实部数列收敛于 \(a\)，且虚部数列收敛于 \(b\)。

• 级数：\(\sum\limits_{n=1}a_n\) 被称作级数。若部分和数列收敛则级数收敛，反之发散。

• 绝对收敛，如果 \(\{|a_i|\}\) 收敛。相对收敛，如果 \(\{|a_i|\}\) 不收敛但 \(\{a_i\}\) 收敛。绝对收敛则必然收敛。

• 复变函数列 \(\{f_n(z)\}\) （\(n=1,2,\dots\)），\(\sum\limits_{n=1}f_n(z)\) 是复变函数项级数。记 \(s_n(z)=\sum\limits_{i=1}^nf_i(z)\)，若 \(s_n(z_0)\) 极限存在则称该复变函数项级数在 \(z_0\) 处收敛。所有使级数收敛的点称作其 收敛域。

• \(s(z)=\sum f_n(z)\) 被称作该级数的 和函数。

• 幂级数：\(f_n(z)=c_nz^n\) 的级数。

• 幂级数有其收敛半径 \(R\)：模长大于 \(R\) 的全发散，模长小于 \(R\) 的全绝对收敛，等于 \(R\) 的可能发散可能收敛。

• 解析函数的 Taylor 展开定理：在圆域 \(K=\{z\mid|z-z_0|<R\}\) 内解析，则在 \(K\) 内 \(f(z)\) 可以唯一展开为 \(\sum\limits_{n=0}c_n(z-z_0)^n\)，其中 \(c_n=\dfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\)。

• 因此，若 \(f(x)\) 在 \(D\) 内解析，则其在以 \(z_0\) 为圆心、半径仅可能大的包含于 \(D\) 的范围内均可使用上式展开。因此，收敛圆的边界上必有一个奇点。

• 因此函数解析的充要条件是，定义域中每个点都存在邻域，其中所有点都可以使用 Taylor 展开式展开。

• 有时，在圆环域 \(0\leq R_1<|z-z_0|<R_2\) 内的任一解析函数都可以被展成负次数幂级数 \(\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\)。称为 双边幂级数。其中，正幂项可以确定 \(R_2\) 上界，负幂项可以确定 \(R_1\) 下界。

• 当且仅当正幂项、负幂项同时收敛时，双边幂级数收敛。

• 解析函数的 Laurent 展开定理：设 \(f(z)\) 在圆环域 \(R_1<|z-z_0|<R_1\) 内解析，则在圆环域内 \(f\) 必可以唯一展成双边幂级数 \(f(z)=\sum c_n(z-z_0)^n\)，其中 \(c_n=\dfrac1{2\pi\i}\oint_C\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\d\xi\)，其中 \(C\) 是环绕 \(z_0\) 的任一正向简单闭曲线。这个双边幂级数被称作 Laurent 级数，正幂项部分被称作 解析部分，负幂项部分被称作 主要部分。

• 称 \(z_0\) 是一个 极点 pole，如果其主要部分有有限项；其主要部分的最高（？）项次数如果是 \(-n\)，则称其是一个 \(n\) 阶奇点，或者是 a pole of order n。其主要部分中负一次项系数被称作 留数 residue。

• 孤立奇点：在 \(z_0\) 处不解析，但是存在去心邻域使得在其中处处解析。

• 可去奇点：无主要部分的奇点（可以通过重新用 Laurent 级数在 \(z_0\) 处取值覆盖原始定义来消去的奇点）。可去奇点的 Laurent 级数极限存在。

• 极点，Laurent 级数极限趋于无穷。

• 本性奇点 essential singularity 是主要部分无线项的奇点。Laurent 级数不收敛且不存在。

• \(n\) 阶零点，如果其解析，并且可以写成 \((z-z_0)^m\varphi(z)\)，且 \(\varphi(z_0)\neq0\)。

• \(f\) 有 \(n\) 阶极点是 \(\dfrac1f\) 有 \(n\) 阶零点的充要条件。