[COCI2019]Mobitel

CXV.[COCI2019]Mobitel

如果正着来DP的话，状态是 \(O(rsn)\) 的，不可能通过。

这时，我们就要应用一些数论知识了：

若 \(\prod a_i<n\)，

则 \(\left\lfloor\dfrac{n-1}{\prod a_i}\right\rfloor\geq 1\)。

然后，整除又有如下性质：

\(\left\lfloor\dfrac{n-1}{\prod\limits_{i=1}^ka_i}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{\left\lfloor\dfrac{n-1}{\prod\limits_{i=1}^{k-1}a_i}\right\rfloor}{a_k}\right\rfloor\)

同时，依据整除分块的性质，\(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\)的值域大小是 \(O(\sqrt{n})\)。

因此我们可以保存上述下取整的结果作为DP状态。此时复杂度就来到了 \(O(rs\sqrt{n})\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,m,lim,p,a[310][310],f[2][310][2010],deco[2010],code[1001000];
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&lim),lim--;
	deco[1]=lim,code[lim]=1,p=1;
	for(int i=2;i<=lim;i++)if(lim/i!=deco[p])p++,deco[p]=lim/i,code[lim/i]=p;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[i][j]);
//	for(int i=1;i<=p;i++)printf("%d ",deco[i]);puts("");
	f[n&1][m][code[lim/a[n][m]]]=1;
	for(int i=n;i;i--){
		memset(f[!(i&1)],0,sizeof(f[!(i&1)]));
		for(int j=m;j;j--)for(int k=0;k<=p;k++){
			if(i-1)(f[!(i&1)][j][code[deco[k]/a[i-1][j]]]+=f[i&1][j][k])%=mod;
			if(j-1)(f[i&1][j-1][code[deco[k]/a[i][j-1]]]+=f[i&1][j][k])%=mod;
		}	
	}
	printf("%d\n",f[1][1][0]);
	return 0;
}