随笔分类 - 数论——概率期望
摘要：V.[SHOI2014]概率充电器 这题实际上很简单，但是我却想歪了…… 我们我们可以设$f_i$表示$i$节点熄灭的概率。之所以不设为亮起的概率，是因为熄灭当且仅当周边节点没有一个连得到它，但是亮起却是周边至少有一个能连到它——用脚趾头想都知道哪个容易求。 设$p_i$表示$i$节点本身通电的概率
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摘要：V.[六省联考2017]分手是祝愿 首先，本题的基础是想到一种求解的方式： 当前第$n$盏灯只能被第$n$个开关控制，故我们只能操纵第$n$个开关将其搞灭。当其熄灭后，又相当于进入了$n-1$的游戏—— 因此，我们可以发现（或者瞎猜出来），任意局面都有唯一的最优方法，它操作在一组特定位置上。假如一次
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摘要：III.[HNOI2015]亚瑟王 观察题目，我们会发现两个性质： 一张卡片最多只能在一轮游戏中被成功使用。 一轮游戏最多只能成功使用一张卡片。 这样，我们纵向考虑每一张卡片，判断它在某局游戏中被成功使用的概率。 设我们当前有$t$轮游戏，且该卡片成功概率是$p$。则我们有$(1-p)^t$的概率在
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摘要：II.[HAOI2012]高速公路 本题已经在我的任务列表里挂了1年多了 我们将这里的“期望”转成“\(\dfrac{\text{区间中任意两点间距离之和}}{\text{区间中选取两点的方案数}}\)。然后，我们考虑使用线段树维护区间中任意两点间距离之和。 在每个节点上，我们维护如下东西： \(s
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摘要：I.[CTSC2018]假面 期望第一题，居然能独立做出来。 首先这个数据范围明显是暗示我们一个$O(Qm+Cn^2)$的算法可以过去。 我们设$pos_{i,j}$表示敌人$i$剩余血量为$j$的概率。 则当使用一个“锁定”技能后，就相当于对$pos_i$做了一个背包，单次复杂度$O(m_i)$。
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摘要：XXXI.[CTS2019]珍珠 设$cnt_i$为$i$颜色的出现次数。 则由题意，应有$\sum\limits_^\left\lfloor\dfrac{2}\right\rfloor\geq m$ 下面开始颓式子： \(\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{D}\l
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摘要：XVI.WD与积木 本题有两种思路。 首先，两种思路共同的地方在于都将期望化成了$\dfrac{\text{所有方案一共的层数}}{\text{总共的方案数}}\(。我们设其为\)\dfrac$。 思路1：从DP开始 我们先考虑求出$g_n$。 我们有 \(g_n=\sum\limits_{i=1}
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摘要：XXV.玩游戏 我们考虑令$f(p)$表示游戏的“$p$次价值”的期望。 则按照期望定义，我们有 \(f(p)=\dfrac{\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^m(a_i+b_j)^p}{nm}\) 考虑二项式暴力展开，得到 \(f(p)=\dfrac{\su
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摘要：XIV.CF553E Kyoya and Train 题解
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摘要：VI.【模板】多项式开根（加强版） 这题和上题唯一的区别就是$a_0$的取值——本题$a_0$不一定为$1$。 咋办呢？ 我们观察到里面有一句话： 保证$a_0$是$\bmod\ 998244353$下的二次剩余。 二次剩余？这是啥？能吃吗？ 这时，你突然想起曾经看到过一道模板题： 【模板】二次剩余
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摘要：II.BZOJ4675: 点对游戏 （因为C++11的缘故在BZOJ上交会CE） 思路： 我们首先使用淀粉质找出所有长度为“幸运数”的路径数量，设为$tot$。然后，设$f(x)$表示$x$个点间所有的路径数量（即为$\dfrac{x(x-1)}{2}\(），则答案即为\)\dfrac{tot\ti
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摘要：LXII.CF908D New Year and Arbitrary Arrangement 思路： 期望题果然还是恶心呀…… 我们设$f[i][j]$表示当串中有$i$个a和$j$个ab时的方案数。为了方便，设$A=\dfrac{P_a+P_b},B=\dfrac{P_a+P_b}$。 显然，可以
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摘要：IL.CF24D Broken robot DP必须要有方向性。没有明确顺序的DP都是在耍流氓。这就是为什么有“树上DP”和“DAG上DP”而没有“图上DP”，图上有环就不知道应该按什么顺序做了！（像是基环树DP和仙人掌DP都是缩点了，因此顺序还是确定的；环形DP也有“断环成链”的trick）。 那
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摘要：XXXIV.[SCOI2008]奖励关 $n\leq 15$就是一眼状压。但这题难点不是状压，而是期望。 应该很容易就能想到，设$f[i][j]$表示前$i$次操作后，状态为$j$的期望收益。但这有个问题——我们不知道如果刷到一个负数收益应不应该选，因为我们不知道这个负数收益在后面会带给我们怎样的期
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摘要：XXVII.[SHOI2012]随机树 \(q=1\)： 考虑令$f_i$表示：一棵有$i$个叶节点的树，叶节点平均深度的期望值。 则$f_i=f_+\dfrac{2}$。 证明： 我们随便从$i-1$个叶子中选一个出来，展开它， 则这次展开期望能为叶子的深度和增加$2*(f_+1)-f_$。 但是
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