F. GCD and LCM （ ICL 2016 (GP of Tatarstan)）

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 题目描述：给定一个数字n，有n个位置，给定这n个位置的最大公因数和最小公倍数，请问这n个位置有多少种可能（结果对1e9 + 9）取余

解题前置知识：

1.一个数是可以拆分成多个质因子相乘，如果一个数是许多个数字的最大公因数，那么最大公因数对应质因子位置上面的指数应该是这些质因子对应指数的最小值；最小公倍数则是对应质因子位置上面的指数最大值

2.容斥定理：以3个集合A,B,C为例，我们如果需要求出A ​ B ​ C，那么实际上我们是以这样一个式子来解决的： ​

 

那么对于这道题来说，我们需要怎么解决呢？

首先我们先分析组成一个位置上面的数字，我们要求这n个数字必须要取到每个质因子的最小位数(满足最大公因数)，至少有一个数字取到质因子的最大位数

如果我们先对(r - l + 1)这个区间取n，我们可能会取不到两个边界，因此我们需要拿全部的分别减去两个区间边界中获取不到的，再加上中间边界多减去的一部分即可

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 9;
ll n;
ll ggcd,llcm;
ll num[10010];
ll m;
ll quickpow(ll a,ll b)
{
	if(b == 0) return 1;
	else if(b & 1)
	{
		return quickpow(a,b - 1) % mod * a % mod;
	}
	else
	{
		ll tmp = quickpow(a,b >> 1) % mod;
		return  tmp % mod * tmp % mod;
	}
}
void solve()
{
	scanf("%lld",&n);
	scanf("%lld %lld",&ggcd,&llcm);
	if(llcm % ggcd != 0)
	{
		puts("0");
		return ;
	}
	llcm /= ggcd;
	ll tmp = llcm;
	ll cnt = 0;
	for(int i = 2;i * i <= llcm;++i)
	{
		cnt = 0;
		while(tmp % i == 0)
		{
			tmp /= i;
			cnt++;
		}
		if(cnt) num[++m] = cnt + 1;
	}
	if(tmp > 1) num[++m] = 2;
	ll ans = 1;
	//cout << "m "<<m<<"\n";
	for(int i = 1;i <= m;++i)
	{
	//	cout <<"num " <<num[i] <<"\n";
		if(num[i] >= 2) ans *=  quickpow(num[i],n) - 2 * quickpow(num[i] - 1,n) + quickpow(num[i] - 2,n);
		ans %= mod;
		ans += mod;
		ans %= mod;
	//	cout << ans <<"\n";
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
	solve();
	return 0;
}

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