直线与圆：直线の基础&&直线与点の对称问题

直线与圆：直线の基础&&直线与点の对称问题

洛谷备份

补遗

好像很常考，但其实高考不常考（

高考怎么能考原理这么简单，计算量这么小的东西

首先明确一个事情，关于对称，要想到一个距离相等，就是\(A\space and\space B\)关于\(C\)对称，即有\(d_{AC}=d_{BC}\)。你想想初中的关于\(x/y\)轴、原点对称，是不是这个道理？

然后我们分类讨论，易得决策有两种：直线和点，根据乘法原理，对称问题有四种：

不都写在下面了吗（

好，我们现在就开始吧！

Basic Knowledge

直线的一些指标

倾斜角\(\alpha\)：直线上方与\(x\)轴正向的夹角，\(\alpha \in[0,\pi)\)，与\(x\)轴平行或重合时，\(\alpha=0\)

斜率：\(k=\tan \alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)，注意到\(\alpha=\frac{\pi}{2}\)时，斜率不存在，大题一定要记得讨论其实什么题都要讨论

横截距：直线与\(x\)轴交点的横坐标

纵截距：直线与\(y\)轴交点的纵坐标

直线的方向向量：\(\mathrm{\overrightarrow{u}=\space <x_2-x_1,y_2-y_1>\space=\space<1,k>}\)

直线方程

点斜式：\(y-y_0=k(x-x_0)\)，不适用于斜率不存在的直线

斜截式：\(y=kx+b\)，其中\(b\)为纵截距。不适用于斜率不存在的直线

两点式：\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)，其中\(y_2\not= y_1,x_2\not= x_1\)

截距式：\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)，其中\(a\) 为横截距，\(b\)为纵截距。不适用于过原点的直线

一般式：\(Ax+By+C=0\)，其中\(A,B\)不同时为0

几何关系的坐标表示

这里使用斜截式和一般式：

1. \(l_1//l_2\)：

• 斜截式：\(k_1=k_2\)且\(b_1\not=b_2\)

• 一般式：\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\not =\frac{C_1}{C_2}\)

2. \(l_1\perp l_2\)：

• 斜截式：\(k_1k_2=-1\)（证明：向量法更快）

• 一般式：\(A_1B_2=A_2B_1\)

距离公式

1. 点到点的距离（曼哈顿距离）：\(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

2. 点到直线的距离：\(d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

3. 两条平行直线间的距离：\(d=\frac{\lvert c_2-c_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

导出结论

1. 平行于\(l:Ax+By+C_1=0\)的直线：\(l':Ax+By+C_2=0\)

2. 垂直于\(l:Ax+By+C_1=0\)的直线：\(l':Bx-Ay+C_2=0\)

3. 过\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)和\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)的交点的直线（系）：

• 这种形式不包括\(l_1\)：\(l:A_1x+B_1y+C_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0\)

• 这种形式不包括\(l_2\)：\(l:A_2x+B_2y+C_2+\lambda(A_1x+B_1y+C_1)=0\)

4. 中点坐标公式：\(x'=\frac{x_1+x_2}{2},y'=\frac{y_1+y_2}{2}\)

点关于点对称

我们设点\(A(x,y)\)关于\(P(a,b)\)的对称点为\(A'(x',y')\)，想想这个：

关于原点对称：\((x,y)\rightarrow(-x,-y)\)

注意到这种情况下有\(\frac{x+x'}{2}=a,\frac{y+y'}{2}=b\)，事实上，这个公式在关于\((a,b)\)对称的任一点都是成立的。所以，我们可以算出\(A'(2a-x,2b-y)\)。

点关于直线对称

对于一点\(A(x,y)\)和一条直线\(l:Ax+By+C=0\)，我们很容易发现：

• \(A\)和\(A'(x',y')\)一定共线。

• \(l\)过\(AA'\)的中点。

• 这条新直线一定与\(l\)垂直。

那我们先把这些条件翻译一下：

\(\begin{cases}A\cdotp \frac{x+x'}{2}+B\cdotp\frac{y+y'}{2}+C=0\\ k_{AA'}k_l=-1\end{cases}\)

稍作整理：

\(\begin{cases}A\cdotp \frac{x+x'}{2}+B\cdotp\frac{y+y'}{2}+C=0\\ \frac{y'-y}{x'-x}\cdotp -\frac{B}{A}=-1 \end{cases}\)

当然，很多资料书也喜欢进一步整理成这个样子：

\(\begin{cases}A\cdotp \frac{x+x'}{2}+B\cdotp\frac{y+y'}{2}+C=0\\ A(y'-y)-B(x'-x)=0 \end{cases}\)

形式看起来很复杂，但本质是一样的。

直线关于点对称

首先我们想到两点确定一条直线，所以如果要确定一条直线关于一个点的对称直线，我们可以在这条直线上取两个点，算出它们的对称点。然后两个对称点所确定的直线就会是我们要求的对称直线。

显然就算取直线与\(x/y\)轴交点（有一个坐标为0），这样的方法计算量也很大，我们想想怎么优化。

注意到如果两条直线不平行，那它们不可能关于任意一个点对称，这个命题的正确性是显然的，因为不平行的两条直线旋转\(\mathrm{\pi\space rad}\)后不可能重合。

有了这个假设，我们可以直接照搬原直线的\(A,B\)两个参数。然后再想到\(d\)相等这个关键特征，把点到直线的距离相等列出来，解出对称直线的未知的\(C\)就可以了。

注意到点到直线的距离的表达式中有绝对值，所以一般有两个解，但其中一个往往可以舍去，因为它是原直线（

直线关于直线对称

首先我们想到先搞掉\(l_1//l_2\)的特殊性质。把直线\(d\)相等的表达式列出来就行了。

如果\(l_1\)不平行\(l_2\)，那它们的对称直线肯定过它们的交点。然后我们再在给出的\(l_1\)上取一点，求它关于\(l\)的对称点，这个对称点和前面的交点就可以确定对称直线了。

最值问题

用距离公式求最值

这种问题的常见考法：

定点到动直线的最大距离：

给你的直线都是可以拆成前面提到的直线系的，求出这条动直线过的定点，这个定点和题干给定点的距离即为\(d_{max}\)

平行线过定点求方程：

一个母题：\(l_1,l_2\)各过一个定点，且\(l_1//l_2\)，当\(d_{l_1 l_2}\)取得\(\max\)时，求\(l_1,l_2\)方程。

别乱转\(l_1,l_2\)，当两个定点确定的直线垂直这两条直线时，能取到\(d_{max}\)。

然后我们就确定了直线的斜率，用点斜式即可求出两直线方程。

奇形怪状の式子1：

形如\(\sqrt{(\dots)^2+(\dots)^2}\)或\((\dots)^2+(\dots)^2\)的式子求\(\min\)，都可以拆为两点距离，不管两个点是定的还是在直线上动，求\(d_{min}\)就是了。

奇形怪状の式子2：

形如\(\sqrt{(\dots)^2+(\dots)^2}\pm\sqrt{(\dots)^2+(\dots)^2}\)的式子，尝试将其拆成在一条直线上的动点到两个定点的距离的和或差。然后可以用下面的方法解答。

由对称关系求最值

要在一条给定的直线上找一点，使这个点与两个给定的点的距离和最小或差最大。

注意到我们就是在用坐标法讨论初中的“将军饮马”问题。我们也可以利用当时“化曲为直“的思想，随便挑一个给定点，求出它关于给定直线的对称点，然后将对称点与另一个给定点连线，与给定直线的交点即为\(\sum d\)取\(\min\)的点。

差最大的点，也可以先搞出对称点，然后将距离代换，利用三角关系可得到差的\(\max\)。

如图，我们要在\(l\)上找两个点\(P,P'\)，取得\((\lvert PA\rvert +\lvert PB\rvert)_{min}\)和\((\lvert P'A\rvert -\lvert P'C\rvert)_{max}\)。

我们先找到\(A\)关于\(l\)的对称点\(A'\)。此时\(BA'\)及其与\(l\)的交点\(P\)显然是所求答案。

对于差最大的情况：

• 由对称的性质有\(P'A-P'C=P'A'-P'C\)，

• 又由三角不等式可得：\(\lvert P'A'-P'C\rvert \le A'C\)。

• \(\therefore(\lvert P'A\rvert -\lvert P'C\rvert)_{max}=A'C\)。\(\square\)证毕。

本图表的在线链接

2024/9/16 初稿撒花！

9/18 UPD:由关系反推对称轴方程

已知直线\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)关于直线\(l_2\)对称的直线是\(l_3:A_3x+B_3y+C_3=0\)。求\(l_2\)的方程。

我们不妨把\(l_2\)设成\(y_2=k_2x+b_2\)，首先联立\(l_1,l_3\)的方程，把它们的交点搞出来，然后这个交点肯定也在\(l_2\)上，我们不予证明。

然后又考虑到\(l_1,l_3\)对称意味着它们上一对对称点的连线段中点也在\(l_2\)上，我们可以偷个懒，取\(l_1/l_3\)与\(x/y\)轴的交点，求其对称点，算出中点后代入\(l_2\)表达式联立求解。当然，也可以用\(l_2\)必定中垂这对对称点的连线段来算，斜率之积=-1。一般都会解出两条互相垂直的直线。

还有一个比较开挂的方法，我们可以把\(l_1\)和\(l_3\)两条直线的其中一条看成不动的，那么这个对称轴就一定随着另一条直线的旋转而旋转，方程也会变。那么这两条直线的坐标就可能具有某种关系。

我们假设定住\(l_3\)，然后取\(l_1\)上一点\((x_0,y_0)\)（完全可以偷懒取\(x/y\)轴交点），求出它在\(l_3\)上的对称点\((x'_0,y'_0)\)，它们的中点\((x,y)\)必在\(l_2\)上。注意到\(x,y\)和\(x_0,y_0\)已通过中点坐标公式联系起来，我们就把\(x_0,y_0\)整理成含\(x,y\)的式子，因为\((x_0,y_0)\)在\(l_1\)上，所以\(x_0,y_0\)不管形式如何，一定满足\(l_1\)的表达式，所以我们就可以把含\(x,y\)的式子代入\(l_1\)的表达式中，整理成直线方程的形式，就得到了\(l_2\)的方程。

这种方法的思想是“用已知方程推未知点”。较广的学术称呼大概是叫“主从联动”。在圆和圆锥曲线的题目里，我们经常会用到这种方法求各种曲线的轨迹，并且不局限于对称问题。所以这两种方法有点像二分图匹配的匈牙利算法和网络流算法，后者是降维打击。

在求对称轴问题上，我们碰到\(l_1/l_3\)是坐标轴的情况，取点的对称点能够落在坐标轴上，即有个坐标为0，就可以采用“主从联动”加速，不然运算优势不是很明显，就像\(O(nm)\)和\(O(n\sqrt m)\)一样（