二分图学习笔记

本文仅涉及相关定义与解法，并非附带严格证明，并且定义不为严谨说法，只是为了方便自己理解。

二分图

定义

如果一个图可以把点分为两个集合，使得每一条边两端点分属不同点集，那么这个图就是二分图。

判定

先说一个结论，一个图是二分图等价于一个图不存在奇环，用手画一画很容易得到这个结论。

我们通过染色法来判断一个图是否为二分图。具体流程如下：

我们设dfs(u,c)表示从\(u\)开始染色，\(u\)的颜色染成\(c\)。

1.从每个未染色的点开始染色，一般颜色有1,2两种，初始点染色为1，向外拓展所连边。

2.假设当前染色点为\(u\)，那么遍历所有\(u\)出边所到达的点\(v\)，如果\(v\)未染色，就尝试dfs(v,3-c)，如果不合法返回false，合法继续。如果\(v\)已染色，则判断\(v\)颜色是否与\(u\)相同，相同返回false，不同跳过即可。

3.所有\(v\)都合法，返回true。

复杂度\(O(n+m\))，\(n\)为点数，\(m\)为边数。

代码实现如下：

bool dfs(int u,int c)
{
    col[u]=c;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        int v=e[i].to;
        if(col[v])
        {
            if(col[v]==col[u])
            {
                return false;
            }
        }
        else
        {
            if(!dfs(v,3-c,x))
            {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

二分图最大匹配

一些定义

• 匹配：从一个图里选出一些边，使得每条选出来的边没有公共端点。

• 匹配边/点：一条边出现在一个匹配的边集里，这条边就称为匹配边，它的两端点都称为匹配点。

• 非匹配边/点：不是匹配边/点的边/点（多么直白的理解）。

• 增广路：一条连接两个非匹配点且路径上匹配点和非匹配点交替出现的路径。

• 最大匹配：在所有匹配中，边集大小最大的一种匹配。

求法

二分图最大匹配我们可以使用匈牙利算法（其实好像只是一部分）求解。首先增广路有一个小性质：如果存在一条增广路，那么一定可以多选出一条匹配边（把增广路上的点状态取反）。这个算法的原理也是找增广路。流程如下：

定义Hungary(u)表示从\(u\)开始的一次增广过程，mt[i]表示\(i\)和谁匹配，st[i]表示在本次增广过程中访问到的点。

1.把二分图分为两部分（颜色相同的是一部分），分别称为左部点和右部点。

2.从左部点每个点开始，尝试进行增广，增广过程如下（假设当前访问到点\(u\)）：

• 枚举\(u\)能到达的所有点\(v\)。
• 如果\(v\)已经访问过，跳过，没有，标记已访问，即st[v]=1。
• 如果\(v\)是非匹配点，就把\(v\)匹配给\(u\)，即mt[v]=u。如果\(v\)是匹配点，我们就尝试给和\(v\)匹配的点\(mt[v]\)重新找一个匹配点，即Hungary(mt[v])，如果能找到，就把\(v\)匹配给\(u\)，否则匹配失败。

3.能匹配的点的个数，就是该二分图的最大匹配。

复杂度\(O(nm)\)，\(n\)为点数，\(m\)为边数，但是一般跑不满，实际运行效率挺优秀。

有几个要注意的点：

• 二分图是无向图，但是我们为了方便，一般只会连左部点到右部点的"有向"边。
• st数组有必要存在吗？是有的，因为如果一个右部点被多个左部点相连，那么在尝试修改匹配的时候，这个右部点可能会被一直访问，这样就出不来了。
• 每次清空st数组开销很大，我们可以在Hungary函数中多传一个参数op，表示是第几次增广，这样判断一个点\(v\)是否被访问，只要判断st[v]是否等于op就好了，无需清空。

代码实现如下：

bool Hungary(int u,int op)
{
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        int v=e[i].to;
        if(st[v]!=op)
        {
            st[v]=op;
            if(!mt[v]||Hungary(mt[v],op))
            {
                mt[v]=u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

邪门理解

嗯，第一次见到肯定一脸懵逼，神魔增广路，神魔匹配非匹配。我们换一个通俗易懂的解释：

把左部点看作男生，右部点看作女生，之间的边看作男女互相喜欢。

每次尝试给一个男生找女友，当然要找男生女生互相喜欢的，如果女生没有男友，正好两人谈上，有的话，嗯，最邪门的地方来了：让女生尝试把她男友踹掉，让男友找个新女友，如果这个男友找到了新女友，那么皆大欢喜（？），这个女生和来找她的新男生谈上了，如果找不到，这个女生就会可怜这个男生竟然找不到其他女生了，就拒绝这个新男生（？）。如果这个男生被所有女生拒绝，单身一辈子（？），匹配失败，不管了。

如果你想，可以叫做月老算法，当然，这显然叫做NTR算法更合适一点。

二分图最小点覆盖

定义

点覆盖：在图中选出一个点集，使得每一条边都至少有一个端点属于这个点集。

最小点覆盖：最小化这个点集的大小。

求法

直接给结论：二分图最小点覆盖=二分图最大匹配。证明略显复杂，不写了。放一张AcWing算法提高课上y总的证明。

二分图最大独立集/最大团

定义

独立集：选出一些点，使得这些点之间两两不存在连边。

最大独立集：最大化这些点的个数。

补图：把一张图所有连边的点的边去掉，所有没连边的点连上边，这样得到的一张图就叫做原图的补图。

最大团：补图的最大独立集就是原图的最大团。

求法

结论：二分图最大独立集=点数-二分图最大匹配=点数-二分图最小点覆盖。

简单说一下：我们可以把最大独立集看作是"破坏"边的过程，如果一条边有至少一个端点被破坏，那么这条边就被破坏了，这样就转化为了至少选出几个点，能使得所有边至少有一个端点被选，即最小点覆盖，剩下的点就是最大独立集。

有向无环图最小路径点覆盖

定义

最小路径点覆盖：在图中选出最少的不相交路径（即点和边都不重复），使得所有的点都被经过一次。

求法

求有向无环图的最小路径点覆盖用到了拆点的思想，即把每个点\(u\)拆成出入两个部分，为了方便，把左边的点\(u\)称为出点，右边的点\(u'\)称为入点，一条边\((u,v)\)，就在新图上转化成了\((u,v')\)，可以发现，如果边无向，这就是一张二分图。这有什么用呢？我们来看原图上的一条路径在新图上变成了什么：假设有一条路径\(u->v->p\)，那么新图上经过的边就是\((u,v'),(v,p')\)，容易发现，因为路径不相交，所以每个点最多经过一次，一条路径，就是一个匹配，一个路径的终点，就是左侧的一个非匹配点。因此，我们现在的问题，转化为了找到一个匹配，使得左侧非匹配点最少，即左侧匹配点最多，也就是求这张新图的最大匹配。

有向无环图最小路径可重复点覆盖

定义

最小路径可重复点覆盖：与最小路径点覆盖类似，不过这次点可以相交。

传递闭包：一张图上，让一个点\(u\)向所有可以直接或间接到达的点\(v\)（即存在\(u\)到\(v\)的一条路径）连边后得到的新图。

求法

我们一样使用拆点法，不过由于路径上点可以重复，所以可能会出现两条路径存在重复点：\((u->y->v)\)和\((x->y->z)\)，这样，我们如果能让\(x\)点直接到达\(z\)，就可以避免重复覆盖\(y\)点了，于是，我们给原图用\(Floyd\)求一个传递闭包，再在传递闭包上进行最小路径点覆盖即为答案。

一些注意

虽然二分图是无向图，但是建图的时候，一般只会让左部点向右部点连一条"有向"边，这是正确的，至于右部点向左部点的连边，我们可以认为是mt数组。

完结撒花！\^_^/