树 - 习题

已知一棵完全二叉树的第 6 层有 8 个叶结点，则该完全二叉树的结点个数最多是 ( )

A. 39            B. 52            C. 111            D. 119

解：

• 本题告诉第 6 层有 8 个叶子，则还会有 24 个分支节点，其在第 7 层最多有 48 个叶子，故选 C，若本题说第 6 层只有 8 个叶子，则应该选 A

在一棵度为 4 的树 T 中若，若有 20 个度为 4 的结点，10 个度为 3 的结点，1 个度为 2 的结点，10 个度为 1 的结点，则树 T 的叶结点个数是 ( )

A. 41            B. 82            C. 113            D. 122
**
解：

• 在这棵树中度为 204+103+12+101=122，树的结点数为度数加一，为 123 个结点，123 个结点减去有度的 20+10+1+10=41 个结点，剩下 82 个度为 0 的结点，选 B

若一棵二叉树的前序遍历序列和后序遍历序列分别为 1, 2, 3, 4 和 4, 3, 2, 1，则该二叉树的中序遍历序列不会是 ( )

A. 1, 2, 3, 4            B. 2, 3, 4, 1            C. 3, 2, 4, 1            D. 4, 3, 2, 1

解：

• 前序遍历和后序遍历序列相反的二叉树是高度等于结点数的二叉树，或者说只有一个叶子节点的二叉树，或说每个分支结点至多只有左孩子或只有右孩子的二叉树。A 是分支结点只有右子树的二叉树，D 是分支节点只有左孩子的二叉树，B 是以 1 为根，2 是 1 的左孩子，3 是 2 的右孩子，4 是 3 的右孩子，故选 C

已知一棵有 2011 个结点的树，其叶结点个数为 116，该树对应的二叉树无右孩子的结点个数为 ( )

A. 115            B. 116            C. 1895            D. 1896

解：

• 一共有 2011 个结点，即左孩子数 + 右孩子数 + 根节点 = 总结点数，即 L + R + 1 = 2011。有 116 个结点有左孩子，即 L 为 116，带入上式 R 为 115，即有 115 个结点有右孩子。在转换出来的二叉树中，一共有 2011*2 个指针，其中左右指针各 2011 个。左右指针都各自包含了指向空的左右指针与非空的左右指针，115 个结点有右孩子即在 2011 个右指针中，有 115 个指针非空，则空指针个数为 2011-115 个即有1896 个结点无右孩子，故选 D

先序序列为 a, b, c, d 的不同二叉树的个数是 ( )

A. 13            B. 14            C. 15            D. 16

解：

• 前序序列和中序序列的关系相当于以前序序列为入栈次序，以中序序列为出栈次序。因为前序序列和中序序列可以唯一地确定一棵二叉树，所以题意相当于：以序列 a,b,c,d 为入栈次序，则出栈序列的个数为？则出栈序列一共有 \(\frac{1}{n+1}C_{2n}^n\) 种，故选 B

下列选项给出的是从根分别到达两个叶结点路径上的权值序列，能属于同一棵哈夫曼树的是 ( )

A. 24, 10, 5 和 24, 10, 7                B. 24, 10, 5 和 24, 12, 7
C. 24, 10, 10 和 24, 14, 11            D. 24, 10, 5 和 24, 14, 6

解：

• C 选项，由第一个序列中的 10，10 可以得到有个叶子权值是 0。第二个序列的 14，11 知道有个叶子是4。四个权值 10，0，11，4 是原始序列中的权值，按理说 0，4 最小，应该组合在一起，但是这里没有。所以是错误的树形，则错误。B 选项，如果 24 是第一个序列的，第二个序列的权值应当是 14，但 B 选项却是指向 12，所以序列错误。A 选项同 B 选项，错误。故 D 选项正确

任何一棵二叉树的叶子结点在其先序、中序、后序遍历序列种的相对位置 ( )

A. 肯定发生变化            B. 有时发生变化            C. 肯定不发生变化            D. 无法确定

解：距离一个最简单的二叉树，选 C

若二叉树采用二叉链表存储结构，要交换其所有分支节点左、右子树的位置，利用 ( ) 遍历方法最合适

A. 前序            B. 中序            C. 后序            D. 按层次

解：

• 本题 A C 均可，采用递归遍历。A 是若二叉树非空，则交换左右子树，在先序递归交换左子树，先序递归交换右子树。C 是若二叉树非空，后序交换左子树，后序递归交换右子树，最后交换根结点的左右子树

当一棵有n个结点的二叉树按层次从上到下，同层次从左到右将数据存放在一维数组A[1..n]中时，数组中第i个结点的左孩子为 ( )

A. A[2i]            B. A[2i+1]            C. A[i-2]            D. 条件不充分，无法确定

解：

• 必须得是完全二叉树才能确定，如果是则选 B。该题未给出，所以无法确定，选 D

由 3 个结点可以构造出多少种不同的有向树? ( )

A. 2            B. 3            C. 4            D. 5

解：有向树的概念是恰有一个顶点入度为 0，其余顶点入度为 1，选 A，具体解析见牛客网

一棵树共有n个节点的数，其中所有分支节点的度均为k，则该数中叶子节点的个数为 ( )

A. n × (k - 1) / k            B. n / k            C. (n + 1) / k            D. (n × k - n + 1) / k

解：

• 设叶子结点个数为 n0，则有分支数 n - 1 = (n g- n0) × k，所以n0 = (n × (k - 1) + 1] / k

具有 n 个结点，其路径长度最短的二叉树是 ( )

A. 哈夫曼树            B. 完全二叉树            C. AVL 树            D. 二叉排序树

解：

• 树的路径长度是从树根到树中每一结点的路径长度之和.在结点数目相同的二叉树中,完全二叉树的路径长度最短，选 B。哈夫曼树是带权路径长度最小的树。

一个深度为 k 的，具有最少结点数的完全二叉树按层次，用自然数依次对结点编号，则编号最小的叶子结点的序号为 ____________

解：

• 填 \(2^{k-2}+1\)。编号最小的叶子结点不是第 k 层第一个结点，而是第 k 层第一个结点的父结点的右兄弟，第 k 层第一个结点序号为 \(2^{k-1}\)，则其父结点序号为 \(\frac{2^{k-1}}{2}\)，由此得出其右兄弟结点