矩阵

数组的存储结构

按行优先

• 先行后列，先存行数较小的元素，若相等再存列号较小的元素

\(A_{2\times 3}= \begin{bmatrix} a_{00}&a_{01}&a_{02} \\ a_{10}&a_{11}&a_{12} \\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{matrix} a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{10}&a_{11}&a_{12} \end{matrix}\)

按列优先

• 先列后行，先存列数较小的元素，若相等再存行号较小的元素

\(A_{2\times 3}= \begin{bmatrix} a_{00}&a_{01}&a_{02} \\ a_{10}&a_{11}&a_{12} \\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{matrix} a_{00}&a_{10}&a_{01}&a_{11}&a_{02}&a_{12} \end{matrix}\)

存储结构关系式

\(A_{m\times n}\)为 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵，\(m\) 和 \(n\) 的下标均从 1 开始，\(a\) 的下标从 0 开始，\(L\) 为每个数组元素所占的存储单元

按行优先

• 元素 \(a_{i,j}\) 的存储地址为：

\(LOC(a_{i,j})=LOC(a_{1,1})+[(i-1)\times n+(j-1)]\times L\)

按列优先

• 元素的存储地址为：

\(LOC(a_{i,j})=LOC(a_{1,1})+[(j-1)\times m+(i-1)]\times L\)

存储地址之差

• 对于数组 \(A_{n\times n}\)，其元素 \(a_{i,j}\) 按行优先与按列优先存储时地址之差为 \((i-j)\times(n-1)\)

按高优先

三维数组按高下标优先进行存储

E.G.

• 设整型数组 \(a[10][15][20]\)，第一个数组元素地址为2000，每个元素占用4个字节，则按高下标优先，元素\(a[5][6][7]\) 的存储地址为

解：
    \(LOC=2000+(7\times 10\times 15+6\times 10+5)\times 4\)

矩阵的压缩存储

对称矩阵

• 空间大小：\(\frac{n\times (n+1)}{2}\)
• 元素 \(a_{i,j}\) 与其在数组 B 中的下标 K 之间的关系， \(a\) 的下标均从 1 开始，B 的下标从 0 开始

\(k=\begin{cases} \frac{i\times (i-1)}{2}+j-1,\qquad i\ge j（下三角和主对角线区域） \\[2ex] \frac{j\times (j-1)}{2}+i-1,\qquad i\lt j（上三角区域） \end{cases}\)

三角矩阵

• 空间大小：\(\frac{n\times (n+1)}{2}+1\)
• 最后一个元素：\(A\begin {bmatrix}\frac{n\times (n+1)}{2} \end{bmatrix}\)
• 下三角矩阵元素 \(a_{i,j}\) 与其在数组 B 中的下标 K 之间的关系，\(a\) 的下标均从 1 开始，B 的下标从 0 开始

\(k=\begin{cases} \frac{i\times (i-1)}{2}+j-1,\qquad i\ge j（下三角元素）\\[2ex] \frac{n\times (n+1)}{2},\qquad\qquad\quad i\lt j（上三角元素） \end{cases}\)

• 上三角矩阵元素 \(a_{i,j}\) 与其在数组B中的下标 K 之间的关系

\(k=\begin{cases} \frac{n\times (n+1)}{2},\qquad\qquad\qquad\quad i\ge j（下三角元素）\\[2ex] \frac{(i-1)(2n-i+2)}{2}+(j-i),\quad i\lt j（上三角元素） \end{cases}\)

稀疏矩阵

• 非零元很少且分布没有规律的矩阵
• 仅储存非 0 元素
• 存储方式
  • 十字链表（链式存储）
  • 三元组（顺序存储）
    • 包含行标，列标，对应元素值

三对角矩阵

• 也成为带状矩阵
• 矩阵元素 \(a_{i,j}\) 与其在数组 B 中的下标 K 之间的关系，B 从 0 开始

\(k=2i+j-3\)