上升/下降阶乘幂 & Stirling 数

• 上升阶乘幂：\(x^{\overline{k}} = \prod_{i = 0}^{k - 1} x + i\)

• 下降阶乘幂：\(x^{\underline{k}} = \prod_{i = 0}^{k - 1} x - i\)

• 上下转化（对称）：\((-x)^{\underline{n}} = (-1)^n x^{\overline{n}}\)

• 阶乘幂和组合数的转化（组合数定义）：\(\binom{n}{k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!}\)

• \(k | x^{\overline{k}}\)

• 二项式定理：\((x + y)^{\underline{n}} = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} x^{\underline{i}} y^{\underline{n - i}}\)（范德蒙德卷积）

• 有了二项式定理，就有离散求导，离散积分：\((x + 1)^{\underline{n}} - x^{\underline{n}} = nx^{\underline{n - 1}}\)

第二类斯特林数

\[S(p, k) = {p \brace k} = kS(p - 1, k) + S(p - 1, k - 1) \]

由递推式可知组合意义：将 \(n\) 个数划入 \(k\) 个无编号的组内，非空。

• 幂转阶乘幂：\(x^n = \sum_{k = 0}^n {n \brace k} x^{\underline{k}} = \sum_{k = 0}^n \binom{x}{k}{n \brace k}k!\)

组合意义证明：\(x^n\) 相当于给 \(n\) 个元素分到 \(x\) 个有编号的，可空的箱子中的方案数。

那么这个式子的意思就是，选择 \(k\) 个非空箱子，然后将这 \(n\) 个球分到这 \(k\) 个箱子里，最后定序。正确的。