min-max 子集反演

min-max 子集反演

本质上是由二项式反演推导而来的定理，没有自己的演绎式。

\[\max(T) = \sum_{S \subseteq T, S \neq \varnothing} (-1)^{|S| - 1} \min(S) \]

\[\min(T) = \sum_{S \subseteq T, S \neq \varnothing} (-1)^{|S| - 1} \max(S) \]

• 组合意义证明。

• 求解多条件问题同时满足的阈值。

期望形式：

\[E(\max(T)) = \sum_{S \subseteq T, S \neq \varnothing} (-1)^{|S| - 1} E(\min(S)) \]

模型：\(n\) 种物品，每种有无限个，每次取 \(i\) 的概率为 \(a_i\)，求取到所有的期望次数。

• 直接算 \(\max(T)\) 很困难，条件之间有后效性关联，不能独立求解。

• 计算 \(\min(S)\)：几何分布，带权等比数列和。若 \(X \sim Ge(p)\)，\(E(X) = \frac{1}{p}\)，因此，取出一个集合 \(S\) 内至少一个元素的期望次数，即 \(\min(S)\)，\(=\frac{1}{\sum_{i \in S}p_i}\)。

• 使用 SOSDP 进行预处理。

gcd-lcm 子集反演

\[\text{lcm}(T) = \prod_{S \subseteq T, S \neq \varnothing} \text{gcd}(S)^{-1^{|S| - 1}} \]

扩展 min-max 子集容斥 —— 第 \(k\) 大