有效思考

突然意识到，我目前的思考完全没有体系。之前记录思考方式完全不科学，只不过是在总结的思路上得出的规律，并不能告诉你怎么做题。

首先，传统题不能和构造题等非传统题混为一谈。

初步定向

拿到一道题，第一件事就是转化题意。

然后，最重要的事情是有一个切入口。比如说先观察题目的特征，确定最外面那一层属于什么板块。

下面举几个例子：

AT_abc423_f

题目给定 \(n\) 个形如 \(a_i | k\) 限制，求 \([1, Y]\) 内恰好满足 \(m\) 个限制的 \(k\) 个数。

这题是恰好满足 \(m\) 个限制的计数。因此她属于数数题。

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求出 \((i, j)\) 数量 \((i \le j)\)，使得 \(a_ia_j \le \max_{k = i}^{j} a_k\)。

这题也属于数对计数类问题。

整体规划

在初步明确第一步需要哪个板块之后，先把暴力想出来。

第二件要做的事就是大概想一想要做什么，并且快速评估这些做法。

这些方向，需要你从你的知识库里调取。训练解题能力，本质上就是在提升调取知识的熟练度。

P4775

首先暴力就是枚举 \(a_i, a_j\)，然后检查 \([i, j]\)。

我们知道这是一道数对计数。那么一般有什么方法呢？

首先，计数题需要先考虑容斥。这题需要容斥吗？不需要。

• 定一求一，这可以看作对暴力算法的优化。（但是求另外一个，如何快速维护合法性呢？有点难。）

• 最值分治。（这种方法很好地解决了最值的限制，比较有前途。）

• ...

利用知识树和题目特征解决“卡点”

在思考的过程中，不难会遇到“卡点”。这是你学习的算法，知识所服务的地方。

一般来说，对于每个板块都维护一个知识树，可以有效，清晰，整齐地检索所有可能的工具。

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所以，需要每次按照最大值分界，分别递归求解。

此时，只需要处理跨越最大值的 \((i, j)\) 对数。

所以现在问题变成了：我想求 \(i < mid < j, a_ia_j \le a_{mid}\) 的 \((i, j)\) 个数。

还是先考虑暴力：枚举跨块的两两的对。如何优化？

我们在脑海里检索「跨块对计数」有什么方法：直接找似乎范围太宽，于是尝试看一下这个 Subtask 的特殊性质，\(a_ia_j \le k\)。这说明了，伴随着 \(a_i\) 的增加，\(a_j\) 是单调下降的。

那么利用这个性质优化暴力：可不可以只枚举一边，查询另外一边 \(\le c\) 的数个数？

那么问题直接变成：如何查询区间内 \(\le c\) 的数个数。检索这个问题有什么方法：

• 在分治过程中连带解决。（重复计算了很多东西，很浪费。）

• 可以归并树，块套树进行静态查询。

• ...

那么这个东西可以直接考虑归并树，本质上是在对「分治过程中连带解决」的暴力方法做子问题复用的优化。

启发式算法

这种东西是 trick 的一类。一般可以整理成可复用的东西。

在考场上很难发明出来，一般这种东西留到完全没路的情况下，再选择一个最有前途的思路加以思考得出。但是这种结论的“生吃”是概率极小的事，需要选手具有强大的时间管理能力，心态，思维能力才可能发生，考场上的 \(4\) 个小时很宝贵，这些事件完全可以拿来做一些性价比更高的事。

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分析一下代码的时间复杂度：一共有 \(\mathcal{O}(n)\) 层。每递归需要枚举一侧，再乘一个 \(\mathcal{O}(\log n)\)。在坏的情况下，可以卡到 \(\mathcal{O}(n^2 \log n)\)。

如何优化？

• 笛卡尔树可以做到，但是这题需要枚举，所以直接排除。

• “启发式分裂”，每次遍历短的区间，这样总的遍历是 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 的，所以做完了✅。

纠错与改进

当你觉得一条路走到头了，这可能是因为：

• 你没和出题人对上脑电波。

• 有某些做法你没学过，不会。

• 你没想到（这个问题，一般来说，可以靠完善知识树，和适当的取舍心态避免）。

此时，应该及时回退。因为你前面给自己留了另外的路。可以继续尝试。

如果没有路了你也做不出来，在训练过程中就应该开题解了。

如果这个算法你没有学过，那么先考虑她可以解决什么问题，然后和已学的类似算法进行比较，最后挂在到不同板块的树上。

如果你是学过但没想到，就说明这棵树不够完善，你也需要完善她。

非传统题

为啥常说「做构造可以提升思维能力」？

构造题，一般考察的是你转化条件的能力，构造方案的能力。

其中转化条件，抽象思维的能力，正是上面说的传统题中重要的一部分。所以也有助于思考。

但是只做构造，完全不学算法，认为可以提升思维，就本末倒置了。

提升构造题能力，也可以总结做过的不同类别的题，拓宽每一步开始的树，单独处理一棵。

那交互也是几乎一样的。对于不同的交互问题，也可以尝试列举方法，举个例子。

CF1028G（一道模板题）

想要找到数的位置。抓住题目的特征：\(M\) 是一个很奇怪的数，怎么得到的？

• 数学公式推导而来，这意味着有一个数学公式代表的构造。

• DP。这感觉是很能做的。这样的交互本质就是给方案。既然方案很难用有限的语言描述，为何不通过 DP 构造方案呢？

于是把 DP 数组设出来，最后就是传统题的优化了。