算法第三章作业

1. 实践报告：最低通行费的动态规划求解

1.1 最优子结构与递归方程式

问题分析
给定一个 N×N 的网格，每个格子有费用 cost[i][j]。商人从左上角 (0,0) 出发，到达右下角 (N-1,N-1)，且必须恰好经过 2N-1 个格子（即只能向右或向下移动）。目标是使总费用最小。

最优子结构
设 dp[i][j] 表示从起点 (0,0) 走到格子 (i,j) 的最小总费用。
要到达 (i,j)，只能从上方 (i-1,j) 或左方 (i,j-1) 过来，因此问题的最优解包含其子问题 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 的最优解，满足最优子结构性质。

递归方程式

dp[i][j] = cost[i][j] + min( dp[i-1][j] , dp[i][j-1] ) , i>0 且 j>0

• 定义：dp[i][j] 表示从左上角 (0,0) 到达格子 (i,j) 所需的最小费用。

• 边界条件：

• dp[0][0] = cost[0][0] （起点）

• 对于第一行 (i=0, j>0)：dp[0][j] = dp[0][j-1] + cost[0][j]（只能从左来）

• 对于第一列 (j=0, i>0)：dp[i][0] = dp[i-1][0] + cost[i][0]（只能从上面来）

1.2 填表法设计

• 表的维度：二维数组 dp[N][N]，大小与网格相同。

• 填表范围：所有格子 (i,j)，其中 0 ≤ i < N，0 ≤ j < N。

• 填表顺序：按行优先（从上到下，每行从左到右）。因为计算 dp[i][j] 只依赖其上方 (i-1,j) 和左方 (i,j-1)，该顺序保证了子问题已被求解。

• 原问题的最优值：表格右下角元素 dp[N-1][N-1]。

1.3 时间复杂度与空间复杂度分析

• 时间复杂度：双层循环遍历所有 N² 个格子，每个格子执行常数次操作，故时间复杂度为 O(N²)。

• 空间复杂度：使用一个 N×N 的二维数组存储 dp 值，故空间复杂度为 O(N²)。

优化：可仅用一维滚动数组将空间降至 O(N)，但本题 N≤100，二维即可。

2. 对动态规划算法的理解和体会

动态规划的核心思想是 “记住过去，避免重复计算”。它将复杂问题分解为相互重叠的子问题，通过记录子问题的解来构建原问题的解。学习过程中我有以下几点体会：

1. 最优子结构是前提
   一个问题能用 DP 解决，首先必须具有最优子结构——即原问题的最优解可以由子问题的最优解推导得到。例如本问题中，到达 (i,j) 的最优路径必然包含到达其上方或左方格子的最优路径。识别这一性质是建模的第一步。

2. 状态定义与转移方程是关键
   DP 的难点在于如何定义状态（dp 的含义）以及写出正确的转移方程。状态要能覆盖所有决策，且无后效性（未来决策不影响已记录的状态）。本题的状态 dp[i][j] 直接对应位置，转移方程由移动规则自然得出。

3. 边界条件不可忽视
   边界是递推的基石，例如第一行和第一列无法同时从两个方向来，需要单独处理。忽略边界会导致数组越界或逻辑错误。

4. 填表顺序决定正确性
   必须保证计算某个状态时，它所依赖的所有子状态都已计算完毕。本题按行从左到右、从上到下即可。

5. 时空权衡
   有时可以通过压缩状态降低空间复杂度（如用一维数组代替二维），但需小心覆盖顺序。初学者应先掌握基础写法，再尝试优化。

6. 与实际问题的联系
   许多看似复杂的路径规划、资源分配、序列比对等问题，都可以抽象为 DP 模型。刷 LeetCode 时，我会刻意练习“五步法”：确定状态 → 转移方程 → 初始条件 → 计算顺序 → 返回结果。坚持这一框架，能显著提升解题效率。