康托展开与逆康托展开

闲话

仍想起曾经自己在网上查阅算法时的崩溃，今天来重新学习这个算法时，感觉释然了许多......

康托展开

康托展开常用来求解这样一个问题：

给定一个序列a包含 1~n ，求这个序列在 1~n 的全排列中，按字典序排第几个。

说枯燥点儿，它就是这个式子：

\[ans=b_n(n-1)!+b_{n-1}(n-2)!+...+b_1 0! \]

其中 \(b_i\) 表示其右边比 \(a_i\) 小的数的个数。

怎么去理解这个式子呢？举个例子：

求序列{3,4,1,2,5}关于原问题的答案

在这里只给出3,4的解释。

1.对于3，其右边有两个数1,2比之小，说明1,2作第一位的已经跳过了，然后因为第一位后面有4位，4位的全排列为4!，因此贡献为\(2\times4!\)

2.对于4，其右边同样有两个数1,2比之小，说明1,2作第二位的已经跳过了，然后因为第二位后面有3位，3位的全排列为3!，因此贡献为\(2\times3!\)

以此类推后，发现答案为60，可正确答案为61。

那么为什么要加一呢？

可以发现序列{1,2,3,4,5}答案为0。

因为康托展开的式子是以0开头的，但是正常计算需要+1 很少听到第0个序列的说法

逆康托展开

类似这样一个问题：

给定一个序列a在 1~n 的全排列中按字典序排第几个，求这个序列

实质就是康托倒着问

所以我们倒着做

我们先将给出的字典序减1，然后列出后缀积

1	2	3	4	5
120	24	6	2	1	1
5!	4!	3!	2!	1!	0!

拿61举例子：

61 - 1 = 60

60 / 4! = 2 ……12 在{1,2,3,4,5}有2个比它小 即3

12 / 3! = 2 …… 0 在{1,2,4,5}有2个比它小 即4

0 / 2! = 0 …… 0 在{1,2,5}有0个比它小 即1

0 / 1! = 0 …… 0 在{2,5}有0个比它小 即2

0 / 0! = 0 …… 0 在{5}有0个比它小 即5

所以编号为61的答案序列为{3,4,1,2,5}

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