浅谈扩展欧几里德

题外语：大后天就是复赛了，不负光阴，加油！

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扩展欧几里德是一项较为基础的数论专项

定义：一个 \(ax+by=gcd(a,b)\) 的式子，\(a,b\)为给定的值，求\(x,y\)的解
首先，这个式子满足：解一定存在。

回忆我们知道的欧几里德算法，是把\(gcd(a,b)\)转化求解为\(gcd(b,a\mod b)\)，类比一下，看看扩展欧几里德可不可以运用到这种方法呢？

当然可以。不然为什么叫扩展，数学同题不同问间都有关系

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假设我们已经求解出了\(x_1,y_1\)的值，且\(bx_1+(a\mod b)y_1=gcd(a,b)\)

因为\(a\mod b==a-(a / b)*b\)

所以等量代换 \(bx_1+[a-(a / b)*b]y_1=gcd(a,b)\)

拆个括号，\(bx_1+ay_1-(a/b)*by_1=gcd(a,b)\)

转换： \(ay_1+b[x1-(a/b)y1]=gcd(a,b)\)

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总觉得有点儿熟悉啊......

\(ax+by=gcd(a,b)\)

\(ay_1+b[x1-(a/b)y1]=gcd(a,b)\)

一模一样

所以\(x=y1,y=x1-(a/b)y1.\)

递推式就出来了——

1.\(x_n=y_n+1,y_n=x_{n+1}-(a/b)y_{n+1}\)

2.当 \(b\) 为 \(0\) 时,\(return\) \(a\)因为此时的\(a\)就是\(gcd\)
也就是说，欧几里得算法中\(gcd\)部分结束时变量a中存放的是gcd，变量b中存放的是0，因此此时显然有\(a\times 1+b\times 0=gcd\)成立，此时有\(x=1,y=0\)成立。

update:2022/03/05:20:43

至于通解：

\[x=x_0+ \frac{lcm(a,b)}{a}, \]

\[y=y_0- \frac{lcm(a,b)}{b} \]

和

\[x=[(x_0 \mod \frac{b}{gcd(a,b)})+\frac{b}{gcd(a,b)}] \mod \frac{b}{gcd(a,b)} \]

\[.............还是自己再推推吧............. \]

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核心代码如下：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return r;
}

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2021.11.07：Ps：PJ-301一等，TG-55二等