题解：P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪

P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪 题解

题意

试求如下同余方程组的最小非负整数解：

\[\begin{cases} x\equiv a_1\pmod {b_1}\\ x\equiv a_2\pmod {b_2}\\ \cdots\\ x\equiv a_n\pmod {b_n}\\ \end{cases} \]

其中，\(b_i\) 两两互质。

思路

对于这样模数两两互质的题，可以使用中国剩余定理来求解。什么是中国剩余定理呢？请听我慢慢道来……

首先，由余数的可加性可知，若可以求得以下 \(n\) 个方程的解，那便可以求出原方程的解：

\[\begin{cases} x_1\equiv a_1\pmod {b_1}\\ x_1\equiv 0\pmod {b_2}\\ x_1\equiv 0\pmod {b_3}\\ \cdots\\ x_1\equiv 0\pmod {b_n}\\ \end{cases} \begin{cases} x_2\equiv 0\pmod {b_1}\\ x_2\equiv a_2\pmod {b_2}\\ x_2\equiv 0\pmod {b_3}\\ \cdots\\ x_2\equiv 0\pmod {b_n}\\ \end{cases} \cdots \begin{cases} x_n\equiv 0\pmod {b_1}\\ x_n\equiv 0\pmod {b_2}\\ x_n\equiv 0\pmod {b_3}\\ \cdots\\ x_n\equiv a_n\pmod {b_n}\\ \end{cases} \]

此时，便有原方程的解 \(x=x_1+x_2+\cdots+x_n\)。

现在，考虑将每一个方程组拿出来单独求解。我拿第一个方程组讲解：

\[\begin{cases} x_1\equiv a_1\pmod {b_1}\\ x_1\equiv 0\pmod {b_2}\\ x_1\equiv 0\pmod {b_3}\\ \cdots\\ x_1\equiv 0\pmod {b_n}\\ \end{cases} \]

要求出如上这个方程的解，其实可以再做一步转换，先求出以下这个方程的解：

\[\begin{cases} y_1\equiv 1\pmod {b_1}\\ y_1\equiv 0\pmod {b_2}\\ y_1\equiv 0\pmod {b_3}\\ \cdots\\ y_1\equiv 0\pmod {b_n}\\ \end{cases} \]

由余数的可乘性得：\(x_1=y_1\times a_1\)。同时，观察方程组可知 \(y_1\) 一定是 \(\prod_{i=2}^{n} b_i\) 的倍数。设 \(\prod_{i=2}^{n} b_i\) 为 \(m_1\)，则有 \(y_1=m_1\times k_1\)。因为 \(y_1\) 还要满足第一个同余方程，所以此时得到：\(m_1\times k_1\equiv 1\pmod {b_1}\)。于是，求 \(y_1\) 的问题就转换成了求 \(m_1\bmod b_1\) 的逆元的问题，可以用扩展欧几里得算法求解。

于是便可以按这种方法，求出上面的 \(n\) 个方程组的解，然后便得到了原方程的整数解。不过还要再进行对所有的数的乘积的取模，因为要求最小非负整数解。

所以，设所有的数的乘积为 \(k\)，则最终答案用式子表达便是：

\[x=\sum_{i=1}^{n}k_i\times a_i\times m_i\pmod k \]

代码

开了 __int128。

#include<bits/stdc++.h>
#define int __int128
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 10;
int n;
int a[MAXN] , b[MAXN];
int s;

int exgcd(int a , int b , int &x , int &y) {
	if(!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int r = exgcd(b , a % b , x , y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y;
	return r;
}

inline int read() {
	char c = getchar();
	int x = 0 , s = 1;
	while(c < '0' || c > '9') {
		if(c == '-')
			s = -1;
		c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') {
		x = x * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return x * s;
}

void write(int x){
	if(x > 9)
		write(x/10);
	putchar(x % 10 | 48);
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	n = read();
	int ans = 1;
	for(register int i = 1;i <= n;i ++) {
		a[i] = read();
		b[i] = read();
		ans *= a[i];
	}
	for(register int i = 1;i <= n;i ++) {
		int k = ans / a[i];
		int x , y;
		exgcd(k , a[i] , x , y);
		s = s +  k * b[i] * x % ans;
	}
	write((s % ans + ans) % ans);
	return 0;
}