题解：CF2066D1 Club of Young Aircraft Builders (easy version)

Statement

有一栋 \(n\) 层的楼，居民们要共同发射至少 \(c\) 架纸飞机，楼层高的居民看不到楼层低的居民发射的纸飞机，每位居民会在自己看到的纸飞机数量至少 \(c\) 后停止，实际上它们总共发射了 \(m\) 个纸飞机，现在你有一个 \(a\) 数组记录了每层楼居民发射的飞机数量，部分 \(a_i\) 缺失了即 \(a_i = 0\)，你需要找出填补这些 \(a_i\) 的总方案数，答案对 \(10^9 + 7\) 取模。

在当前问题版本中，所有 \(a_i\) 均为 \(0\)。

Solution

记 \(dp_{i,j}\) 表示第 \(i\) 层楼发射飞机 \(j\) 架，枚举发射的飞机数量，转移方程有：

\[dp_{i,j} \leftarrow dp_{i,j} + \sum\limits_{k=0}^{\min(j,c)}dp_{i-1,j-k} \]

当然你会发现方程缺了什么，注意到我们是从 \(c\) 次发射中选择 \(k\) 次，所以还需要一个系数 \(\binom{c}{k}\)，得到最终的柿子：

\[dp_{i,j} \leftarrow dp_{i,j} + \sum\limits_{k=0}^{\min(j,c)}{dp_{i-1,j-k} \times \binom{c}{k}} \]

最后答案即为 \(dp_{n,m}\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
int T, n, C, m, A[10005], dp[105][10005], fac[1000005], invfac[1000005];

inline int qpow (int x, int k) {
    int ret = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ret = ret * x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}

inline void prefac() {
    fac[0] = invfac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 1000000; i ++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
    invfac[1000000] = qpow (fac[1000000], MOD - 2);
    for (int i = 999999; i; i --)
        invfac[i] = invfac[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}

inline int Com (int n, int m) {
    if (m < 0 || m > n) return 0;
    return fac[n] * invfac[m] % MOD * invfac[n - m] % MOD;  
}

inline void Dp() {
    cin >> n >> C >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i ++)
        cin >> A[i];
    dp[1][C] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        for (int j = C; j <= m; j ++) {
            for (int k = 0; k <= min (j, C); k ++) {
                dp[i][j] = (dp[i][j] + Com (C, k) * dp[i - 1][j - k] % MOD) % MOD;
            }
        }
    }
    cout << dp[n][m] << '\n';
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = C; j <= m; j ++) {
            for (int k = 0; k <= min (j, C); k ++) dp[i][j] = 0;
        }
    }
}

signed main() {
    cin.tie (0) -> sync_with_stdio (0);
    cout.tie (0) -> sync_with_stdio (0);    
    cin >> T, prefac();
    while (T --) Dp();
    return 0;
}