初二新初三集训 Week 3

8月27日模拟赛

T1 友谊赛

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思路

考虑贪心。找到整棵树的最长链，分配给 \(m\) ，然后删掉这条链，再找最长链，分配给 \(m - 1\) ，以此类推，就是一个长链剖分。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define FASTIO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;
const int N = 5e5 + 5;
vector<int> g[N];
vector<int> tmp;
int n, dep[N], son[N], m, mx[N];
void dfs1(int u, int ff) {
	int cnt = 0;
	dep[u] = dep[ff] + 1;
	mx[u] = dep[u]; 
	for (auto v : g[u]) {
		if (v == ff) continue;
		cnt ++;
		dfs1(v, u);
		if (mx[u] < mx[v]) {
			mx[u] = mx[v];
			son[u] = v;
		}
	}
	if (!cnt) 
		++m;
}
void dfs2(int u, int ff, int tp) {
	if (son[u]) 
		dfs2(son[u], u, tp);
	else 
		tmp.push_back(dep[u] - dep[tp] + 1);
	for (auto v : g[u]) {
		if (v == ff || v == son[u]) continue;
		dfs2(v, u, v);
	}
}
int main() {
	FASTIO;
	freopen("race.in", "r", stdin);
	freopen("race.out", "w", stdout);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		int u, v; cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v), g[v].push_back(u); 
	}
	dfs1(1, 0);
	dfs2(1, 0, 1);
	sort(tmp.begin(), tmp.end(), greater<int>());
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i < tmp.size(); ++i) {
		ans += 1ll * tmp[i] * (m - i);
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}

T2 数数

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题意

给你 \(a\) 个 \(-2\)，\(b\) 个 \(-1\)，\(c\) 个 \(1\)，\(d\) 个 \(2\)，求有多少种不同的排列数，使得不存在任何一个子数组，它的和是 \(0\)。

思路

首先我们考虑 \(Sub4\) 没有 \(-2\) 的情况。
可以将整个过程具象成在数轴上跳，最开始在 \(0\)，要向左跳 \(b\) 次 \(1\) 格，向右跳 \(c\) 次 \(1\) 格，向右跳 \(d\) 次 \(2\) 格，且不能经过之前经过的点。
发现性质：中间跳的过程只有 \(3\) 种，\(+1,+2,(+2-1+2)\)。
然后再考虑开始和结束，开始有两种：不动和 \(-1+2\)。
结束也有两种：不动和 \(+2-1\)。
考虑枚举开始和结尾的情况，然后直接组合数学计算中间的方案数。

考虑有 \(-2\)的情况。
发现 \(-2\) 不能放在中间的位置上，那么考虑它对开头、结尾的影响。
开头和结尾就多了两种情况。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define FASTIO                   \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0);                  \
    cout.tie(0);
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;
const int N = 4e6 + 5;
const int Md = 998244353;
ll fac[N], rev[N];
ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ret = (ret * a) % Md;
        a = (a * a) % Md;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
void init(void) {
    fac[0] = rev[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; ++i) {
        fac[i] = (fac[i - 1] * i) % Md;
        rev[i] = (rev[i - 1] * qpow(i, Md - 2)) % Md;
    }
}
// start 0：do nothing
// start 1：-1 * 1 + 2 * 1
// start 2：-2 * k + -1 * 1 + 2 * (k + 1)
// start 3：-2 * k + 1 * 1 + 2 * k

// end 0：do nothing
// end 1：2 * 1 + -1 * 1
// end 2：2 * k + 1 * 1 + -2 * k
// end 3：2 * (k + 1) + -1 * 1 + -2 * k
int A, B, C, D, S, a, b, c, d
void solve(void) {
    cin >> a >> b >> c >> d;
    S = -2 * a - b + c + d * 2;
    if (S < 0) {
        swap(a, d);
        swap(b, c);
    }
    if (S == 0) {
        cout << 0 << '\n';
        return;
    }
    ll ret = 0;
    for (int i = 0; i < 4; ++i) {
        A = a, B = b, C = c, D = d;
        //		cout << A << ' ' << B << ' ' << C << ' ' << D << '\n';
        if (!A && i >= 2)
            continue;
        for (int j = 0; j < 4; ++j) {
            A = a, B = b, C = c, D = d;
            if (!A && j >= 2)
                continue;
            if (A && i < 2 && j < 2)
                continue;
            if ((i == 1 || i == 2) && !B)
                continue;
            int need = A + (j == 3) + (i == 2) + (i == 1) + (j == 1);
            if (D < need)
                continue;
            D -= need;
            if (i == 1)
                B--;
            if (i == 2)
                B--;
            if (j == 1)
                B--;
            if (j == 3)
                B--;
            //			if (i == 2 && j == 2) {
            //				cerr << "Error : " << B << '\n';
            //			}
            if (B < 0)
                continue;
            if (i == 3)
                C--;
            if (j == 2)
                C--;
            if (C < 0)
                continue;
            if (B * 2 > D)
                continue;
            D -= B * 2;
            ll add = fac[C + D + B] * rev[C] % Md * rev[D] % Md * rev[B] % Md * ((i >= 2 && j >= 2) ? A - 1 : 1) % Md;
            ret = (ret + add) % Md;
        }
    }
    cout << ret << '\n';
}
int main() {
    FASTIO;
    freopen("count.in", "r", stdin);
    freopen("count.out", "w", stdout);
    init();
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}