3.24 关系的性质&关系的运算

1 关系的性质
1.1自反性：

非空集合上的空关系是一个全0的矩阵，主对角线上不是全为1，不自反；
如A={2,6,5}R={（2，2），（5，5），（6，6）}称为自反
1.2 证明自反性

恒等关系R={(a,a),a∈A}则称自反，记作I_{A}
所以I_{A}包含于R是R在A上自反的充要条件
1.3 反自反性

关系矩阵中主对角线全为0
实数集上的小于关系，幂集上的真包含关系是反自反的，空集上的空关系是其上的反自反关系（任意集合上的空关系都具有反自反性）

总结：

1.4 对称性

关系矩阵是对称矩阵
1.5 反对称性

关系矩阵关于主对角线对称的任意两个元素至多有一个1

关系图：
是否具有对称性看一对节点之间的边（可能既是对称又是反对称）
是否具有自反性看有没有自回环

1.6 传递性

关系图：任意一条长度为2的路径都有从其起始顶点到终止顶点的边
（1，1）也算传递
证明传递性：

（一旦两个顶点出现双向边，看这两个顶点间有没有双向边，如果有，这两个顶点必须有自回环才有双向边）
关系图：

2 关系的运算
2.1 基本运算（并、交、差、补）

2.2 复合关系

做替换（把公共项做替换即可）
2.3 复合运算的性质

满足结合律，不满足交换律

并集的分配律是相等，交集的分配律是包含
证明例题（涉及谓词辖域的收缩和扩张）

通过任取某个元素来证明
证明过程第二行：因为前面的式子没有c，所以存在c 这个谓词的辖域可以扩大
几个复合符号写几个存在