P3750 [六省联考 2017] 分手是祝愿题解

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思路

比较神经。

首先题目中每个操作都不可以被替代，也就是说，不在原来的最优解中的操作做了一次，就要再做一次才可以。

发现这个东西的期望和步数有关系，考虑将步数定义在状态中。

设 \(f_i\) 表示目前有最优解有 \(i\) 步，要从第 \(i\) 步进行到 \(i-1\) 步的期望为 \(f_i\)。

那么转移为：

\[f_i = \frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}(f_{i+1}+f_i+1) \]

即：

\[f_i=\frac{n+(n-i)f_{i+1}}{i} \]

然后就可以转移了。

最后的答案处理也很简单，做一个前缀和即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define FASTIO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;
const int N = 1e5 + 5;
const int Md = 100003;
int n, k, a[N], cnt;
ll f[N];
ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ret = (ret * a) % Md;
        a = (a * a) % Md;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main() {
    FASTIO;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = n; i >= 1; --i) {
        if (a[i]) {
            ++cnt;
            for (int j = 1; j * j <= i; ++j) {
                if (i % j == 0) {
                    a[j] ^= 1;
                    if (i / j != j) a[i / j] ^= 1;
                }
            }
        }
    }
    f[n + 1] = 0;
    for (int i = n; i >= 1; --i) 
        f[i] = (f[i + 1] * (n - i) % Md + n) % Md * qpow(i, Md - 2) % Md; 
    ll sum = 0;
    if (cnt <= k) 
        sum = cnt;
    else {
        for (int i = cnt; i > k; --i)
            sum = (sum + f[i]) % Md;
        sum = (sum + k) % Md;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        sum = (sum * i) % Md;
    cout << sum << '\n';
    return 0;
}

总结

这题的思路挺神经的，说实话没有见过将这种最优步数转为期望步数，然后放在状态中的做法，感觉很妙。