ABC137 F 题解

ABC137 F 题解

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说在前面：SB deepseek告诉我this的导数为 \(-1\)。

思路

跟Lagrange差不多，就是构造一个“开关函数”：对于 \(x=x_i\)，\(g_i(x)=1\)，否则等于 \(0\)。

那么这道题又是在 \(\mathbb{F}_p\) 域上，模 \(p\) 意义下。考虑使用 Fermat 小定理。

对于任意整数，有 \(x^{p-1}=1\)。那么令 \(g_{i}(x)=1-(x-i)^{p-1}\)。

即，在 \(x=i\) 时，\(g_{i}(x)=1\)，否则等于 \(0\)。

所以题目所求 ：

\[\begin{aligned}f(x)&=\sum\limits_{i=0}^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{p-1}a_jg_{i}(x)\\ \end{aligned}\]

然后直接拆开求值即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define FASTIO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;
const int N = 3005;
int a[N], n;
ll fac[N], rev[N], ans[N];
ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ret = (ret * a) % n;
        a = (a * a) % n;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
void init(void) {
    fac[0] = rev[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; ++i) {
        fac[i] = (fac[i - 1] * i) % n;
        rev[i] = (rev[i - 1] * qpow(i, n - 2)) % n;
    }
}
ll C(int a, int b) {
    if (a < b) return 0;
    return fac[a] * rev[b] % n * rev[a - b] % n;
}
int main() {
    FASTIO;
    cin >> n;
    init();
    for (int i = 0; i <= n - 1; ++i) {
        cin >> a[i];
        ll add = (a[i] - a[i] * qpow(i, n - 1) % n) % n;
        add = (add + n) % n;
        ans[0] = (ans[0] + add) % n;
    }
    for (int i = 1; i <= n - 1; ++i) {
        for (int j = 0; j <= n - 1; ++j) {
            ll add = (C(n - 1, i) * qpow(n - j, n - 1 - i) % n * a[j] % n) % n;
            add = (n - add) % n;
            ans[i] = (ans[i] + add) % n;
        }
    }
    for (int i = 0; i <= n - 1; ++i)
        cout << ans[i] << ' ';
    return 0;
}