P4484 [BJWC2018] 最长上升子序列

思路

看到排列和 LIS，所以想到了杨表。

设杨图单元格数为 \(n\)，则其每一行的格数构成了 \(n\) 的一种整数划分。

向一个单元格数为 \(n\)，划分为 \(\lambda\) 的杨图 \(Y_{\lambda}\) 中，插入 \(1\sim n\) 的排列，我们有钩长公式，得到的标准杨表的数量 \(d_{\lambda}\) 为：

\[d_{\lambda} = \frac{n!}{\prod_{(i,j)\in Y_{\lambda}} h_{\lambda}(i,j)} \]

此时对应排列的 LIS 长度，为杨表第一行的长度 \(|S_{\lambda}|\)。

对于划分都为 \(\lambda\) 的杨表，我们有 Robinson-Schensted correspondence 定理，它们中两两会唯一对应一种排列。则 \(|S_{\lambda}|\) 对答案的贡献为：

\[(d_{\lambda})^2|S_{\lambda}| \]

我们钦定杨图的形态，则答案为：

\[\frac{1}{n!}\sum_{\lambda} (d_{\lambda})^2|S_{\lambda}| \]

由于 \(n \le 28\)，最多也就 \(3718\) 种划分，所以暴力枚举 \(\lambda\) 即可。

代码

inline void dfs(int las,int num){
	if(num==n){
		ll val = mul;
		for(int i=1;i<=cnt;++i){
			for(int j=1;j<=Y[i];++j){
				int num = Y[i]-j+1,t = i+1;;
				while(t<=cnt && Y[t]>=j) ++t,++num;
				(val *= inv[num])%=mod;
			}
		}
		(val *= val*Y[1]%mod)%=mod;
		(ans += val)%=mod;
	}
	for(int i=1;i<=las;++i){
		if(num+i>n) break;
		Y[++cnt] = i;
		dfs(i,num+i);
		--cnt;
	}
}
int main(){
	
	read(n); mul = 1;
	for(ll i=1;i<=n;++i) (mul *= i)%=mod;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		Y[++cnt] = i;
		dfs(i,i);
		--cnt;
	}
	(ans *= quick_pow(mul,mod-2))%=mod;
	printf("%lld",ans);

	return 0;
}