P7984 [USACO21DEC] Tickets P

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思路

把每张票都看作一个节点，能买到票的检查站 \(c_i\) 向票连权值为 \(p_i\) 的边，票向能到达的检查站 \([a_i,b_i]\) 连权值为 0 的边。

现在统计答案，需要求对于每个节点 \(i\) 的最短路 \(dis_{1,i}\) 和 \(dis_{i,n}\)，我们可以建反边分别跑以 1 和 \(n\) 为起点的最短路。

然后考虑如何合并答案。由于路径上重复经过的边只会累加一次代价，所以此时 \(dis_{1,i}+dis_{i,n}\) 并不是最终答案，因为可能存在重复计算了代价的边。

令 \(g_i\) 表示点 \(i\) 的最终答案，则 \(g_i\le dis_{1,i}+dis_{i,n}\)。
设 \(S_i\) 为点 \(i\) 答案中重复统计了的点的点集。
当 \(S_i=\varnothing\) 时，\(g_i=dis_{1,i}+dis_{i,n}\)。
当 \(S_i\ne\varnothing\) 时，总存在 \(u\in S_i\) 使得 \(S_u=\varnothing\)，此时 \(g_u=dis_{1,u}+dis_{u,n}\)。对于边 \(u\to v\)，当确定了 \(g_u\) 后，\(g_v=\min(g_v,g_u+w_{u\to v})\)。
我们发现这个转移和最短路的转移一模一样。
所以我们初始时假设每个点都没有重复计算的代价，令 \(g_i=dis_{1,i}+dis_{i,n}\)，最后再跑一遍最短路求 \(g\)。

由于要对连续的区间连边，所以用 DS 优化建图。