「loj - 3120」「CTS2019 | CTSC2019」珍珠

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时隔大约一年回来再做一遍。

看到自己当初用的是二项式反演，然后 ODE 的解法看起来非常构造（大概只是我不熟悉）。

气抖冷，难道平凡推导就推不出来吗！（也有可能我没搜到相关的）

推得出来的都不平凡。

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前排提醒：如果没写明取值范围则默认取所有有意义的值。

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先用集合幂级数或者 EGF 推，得到：

\[\begin{aligned} \frac{1}{2^D}\sum_{k=0}^{n-2m}\sum_{i=0}^{k}\sum_{j=0}^{D-k}(-1)^i\binom{k}{i}\binom{D-k}{j}\binom{D}{k}(D-2i-2j)^n \end{aligned} \]

以下记 \(l = n - 2m\)，并假设 \(l\in[0, D)\)（当 \(l < 0\) 或 \(l \geq D\) 时是平凡的）。

注意到求和式中最硬的其实是 \((D - 2i - 2j)^n\)，因为 \(n\) 非常大，只能将其看成一个整体而不能展开。

因此以下再记 \(s = i + j\)，则 \(j = s - i\)。原式化简成（省略 \(\frac{1}{2^D}\) 的系数）：

\[\begin{aligned} \sum_{s}(D-2s)^n\sum_{i}\sum_{k=0}^{l}(-1)^i\binom{k}{i}\binom{D-k}{s-i}\binom{D}{k} \end{aligned} \]

注意到后面的组合数可以消成 \(\frac{D!}{i!(k-i)!(s-i)!(D-k-s+i)!}\)。其中 \(k\) 只出现在两项中，因此可以变成：

\[\begin{aligned} &\sum_{s}(D-2s)^n\binom{D}{s}\sum_{i}\sum_{k=0}^{l}(-1)^i\binom{s}{i}\binom{D-s}{k-i} \\ =&\sum_{s}(D-2s)^n\binom{D}{s}\sum_{i}\sum_{k=0}^{l}(-1)^{k-i}\binom{s}{k-i}\binom{D-s}{i} \end{aligned} \]

这里有 \(\sum_{k=0}^{l} (-1)^{k-i}\binom{s}{k-i} = (-1)^{l-i}\binom{s - 1}{l-i}\)。

原因是 \(\sum(-1)^{k-i}\binom{s}{k-i}x^{k-i} = (1 - x)^s\)，求前缀和等价于乘以因子 \(\frac{1}{1 - x}\)，得到 \((1 - x)^{s - 1}\)。

当然如果你乐意，可以用上指标反转 + 平行求和来证。只是要注意 edge case。

为了方便，我们特判 \(s = 0\) 的情况，得到：

\[\begin{aligned} \sum_{s > 0}(D-2s)^n\binom{D}{s}\sum_{i}(-1)^{l-i}\binom{s - 1}{l-i}\binom{D-s}{i} \end{aligned} \]

这样只能得到 “对于所有 \(s\)，求 \([x^l](1-x)^{s-1}(1+x)^{D-s}\)” 之类的结果，不太好做。考虑再消组合数：

\[\begin{aligned} \sum_{s > 0}\frac{D-l}{s}(D-2s)^n\binom{D}{l}\sum_{i}(-1)^{l-i}\binom{l}{l - i}\binom{D-l-1}{s-1-l+i} \end{aligned} \]

就变成了求 “对于所有 \(s\)，求 \([x^{s-1}](1-x)^l(1+x)^{D-l-1}\)”，至少可以 fft 了。

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考虑 \(F = (1 - x)^l(1 + x)^{D - l - 1}\) 可否用 ODE 来递推。发现 \(F' = (-l)\times\frac{F}{1-x} + (D - l - 1)\frac{F}{1+x}\)。

瓶颈卡在求 \((D - 2s)^n\)，可以线性筛做到 \(O(\frac{D}{\ln D}\times \log n) = O(\log_D n)\)。

你怎么写得还没 fft 快，丢人.jpg。

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如果想知道更简单的推导方法，可以参考 https://codeforces.com/blog/entry/76447 中的最后一个。

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难道用二项式反演就不能 ODE 递推吗！气抖冷！

貌似是可以的，注意到这里的二项式反演实际上就是复合 \(F(x - 1)\)，复合之前 d-finite，复合之后自然也 d-finite。

没认真推过，推不出来别找我（