「笔记」多项式乱写
没什么干货，基本上都是瞎写，而且是想到什么写什么，所以可能你看完也学习不到什么。
由于我数学很差，所以可能会写大堆废话 + 大堆错误 + 大堆不带证明的结论。
对之前多项式（生成函数）相关内容做个整理，之前的垃圾博客都隐藏了。
由于我水平有限，所以写的东西比较显然，内容也十分基础入门。
大部分算法只限于口胡而没有实现过，所以不保证正确性。
GF？
按照幂级数的角度理解，敛散性（比如 \(F(x) = \sum i!x^i\) 只在 \(x = 0\) 处收敛）？
形式幂级数？\(\exp,\ln,\int,\frac{d}{dx}\) 等算子的正确性？下文牛顿迭代中所说泰勒展开的正确性？
放弃思考。
DIF & DIT
https://xyix.gitee.io/posts/?page=2&themecolor=Z&postname=dft-acceleration 。
一个关于 DFT 的常数优化，不需要做蝴蝶变换。
mtt
不太想再写一遍 fft 相关教程，就写个 mtt 的做法吧。
取 \(S = \lfloor\sqrt{M}\rfloor\)，可以把系数 \(a_i\) 拆成 \(\lfloor\frac{a_i}{S}\rfloor\) 与 \(a_i \bmod S\)，这样正变换四次，逆变换三次即可，且精度也有保证。
将两次正变换缩成一次的优化：如果当前有两个实系数多项式 \(A(x), B(x)\) 要正变换，可以转化成 \(P(x)=A(x)+iB(x),Q(x) =A-iB(x)\) 正变换。
考虑知 \(Q\) 求 \(P\)（以下记 \(\overline{z}\) 表示 \(z\) 的共轭，记 \(\hat{Q}_j\) 表示 \(Q(\omega_{n}^{j})\)）：
然后考虑逆变换是否也可以两次缩一次：\(\hat R_j = \hat A_j + i\hat B_j\)，则逆变换后 \(r_j = a_j + ib_j\)。由于 \(A(x),B(x)\) 都是实系数，所以直接取实虚部对应系数即可。
这样的话只需做 4 次（严格来说只需做 3.5 次 —— 假如你需要做多次卷积，可以把单出来的逆变换放一起做）。
牛顿迭代
事实上，牛顿迭代一般是用来解方程的数值解而非方程的封闭解。
update：我感觉 OI 里面许多应用其实都是在求 “数值解”。
解方程 \(A(f) = 0\bmod x^n\)，基础思想为倍增，即根据 \(\bmod x^n\) 的解 \(f_0\) 求出 \(\bmod x^{2n}\) 的解 \(f\)。
注意到 \(f = f_0 \bmod x^n\)，因此有 \((f-f_0)^2 = 0\bmod x^{2n}\)，也即 \((f - f_0)^k = 0 \bmod x^{2n}, k > 1\)
考虑将 \(A(f)\) 在 \(f_0\) 处泰勒展开得 \(A(f) = \sum_{i=0}^{\infin}\frac{A^{(i)}(f_0)}{i!}(f - f_0)^i=0\bmod x^{2n}\)。
你可能会说 \(A'\) 是什么鬼。
可以理解成二元 GF \(A(x,f)\)，然后求偏导 \(\frac{\partial A}{\partial f}\)。
此时不难理解 \(\frac{\partial g(x)}{\partial f} = 0\)，其中 \(g(x)\) 与 \(f\) 代数无关（是否可以这么描述？存疑）。
另外 \(\frac{\partial f(x^2)}{\partial f}\) 似乎并不良定义，但是在 \(\bmod x^n\) 时可以认为 \(\frac{\partial f(x^2)}{\partial f} = 0\)。
由上，\(A(f) = A(f_0) + A'(f_0)(f - f_0)=0\bmod x^{2n}\)，变形得到 \(f = f_0-\frac{A(f_0)}{A'(f_0)} \bmod z^{2n}\)（牛顿迭代）。
这里的复杂度瓶颈在于计算 \(\frac{A(f_0)}{A'(f_0)}\)（实际上在做多项式复合）。
几个经典应用：
（1）求逆，即解方程 \(\frac{1}{f} - g(x) = 0\)（方程 \(g(x)f - 1 = 0\) 也正确，但需要一点 trick），牛迭式为 \(f = f_0(2 - g(x)f_0)\)。
（2）求 \(\ln\)（尽管它并不是用牛迭做），\(\ln f = \int \frac{f'}{f}dz\)，求逆即可。
（3）求 \(\exp\)，即解方程 \(\ln f - g(x)=0\)，牛迭式为 \(f = f_0(1-\ln f_0 + g(x))\)。
（4）求幂，\(g^k(x) = \exp(k\times\ln g(x))\)。
这里有一些问题，在模域上 \(\exp\) 并不完整（即使模质数 \(p\)，在 \(p\) 项以后也不能良定义）。
如果考虑在 \(GF(p)\) 上，则 \(f^p(x) = f(x^p)\)，也就是所谓的 “指数取模”（顺带一提，lucas 定理是前式的特例）。
（5）求一阶微分方程，即解方程 \(\frac{df}{dx} = A(f)\)（如 https://uoj.ac/problem/50 ）。
有 \(\frac{df}{dx} = A(f) = A(f_0) + A'(f_0)(f-f_0)\bmod x^{2n}\)。
即一阶线性微分方程 \(\frac{df}{dx} - A'(f_0)f = A(f_0) - A'(f_0)f_0\bmod x^{2n}\)。
那么记 \(P(f_0) = e^{\int A'(f_0)dz}\)，则 \(\frac{df}{dx} - A'(f_0)f = \frac{1}{P(f_0)}\times\frac{d(P(f_0)f)}{dx}\)，即可得到 \(f\)。
没实现，不知道正确性。
以上例子时间复杂度都是 \(O(\sum_{i=0}\frac{n}{2^i}\log \frac{n}{2^i}) = O(n\log n)\)。
带余除法
域上的多项式环是欧几里得环。
若 \(F(x)=\sum_{i=0}^{n-1}f_ix^i\)，则记 \(degF=n-1\)。
给定 \(A(x), B(x)\)，我们想找到 \(P(x),R(x)\) 满足 \(degR<degB\) 且 \(A(x)=B(x)P(x) + R(x)\)。可以发现此时有 \(degP=degA-degB\)。
考虑变换 \(A_r(x) = x^{degA}A(x^{-1})\)，即把 \(A\) 的系数翻转得到 \(A_r(x)\)。
对上述等式做该变换得到 \(A_r(x)=B_r(x)P_r(x)+R_r(x)x^{degA-degB+1}\)，对 \(x^{degA-degB+1}\) 取模转化成多项式求逆，求出 \(P(x)\) 后作减法即得 \(R(x)\)。
多点求值
传统做法：
如果想对 \(x_1,x_2\dots x_n\) 求值，可以分治先算出 \(P_L(x)=\prod_{i=1}^{mid}(x-x_i)\) 与 \(P_R(x)=\prod_{i=mid+1}^{n}(x-x_i)\)。
由于 \(\forall i\in[1,mid],P_L(x_i)=0\)，所以 \(\forall i\in[1,mid],A(x_i) = (A \bmod P_L)(x_i)\)，同理 \(\forall i\in[mid+1,n],A(x_i)=(A\bmod P_R)(x_i)\)。
于是分治即可，时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。
一个小应用：求范德蒙行列式 \(\prod_{1\leq j < i \leq n}(x_i-x_j)\)。
记 \(F_i(x)=\prod_{j=1}^{i-1}(x-x_j)\)，则答案为 \(\prod F_i(x_i)\)。可以发现多点求值在递归时可以顺便算出 \(F_i(x)\)。
有一个新做法：
attention：以下的记法并不严谨，仅作为个人学习的辅助记法。
转置原理能吃吗，能吃我就去学（
一般的卷积定义为 \(f_{i+j}=\sum g_ih_j\)，用形式幂级数记为 \(F(x) = G(x)\cdot H(x)\)。
我们定义另一种 “卷积“ \(f_{i-j}=\sum g_ih_j\)，用形式幂级数记为 \(F(x)=G(x)\times H(x)\)（注意它其实并不交换也不结合，所以不能算真正的卷积）。
那么有 \(F(a) = [x^0](F(x)\times\frac{1}{1-ax})\)，将求值问题转化成了 “卷积” 问题。
注意到 \(F(x)\times(G(x)\cdot H(x)) = (F(x)\times G(x))\times H(x)\)（根据定义，这是显然的）。
一样考虑分治，尝试根据 \(F(x)\times(\prod_{i=l}^{r}\frac{1}{1-a_ix})\) 求出 \(F(x)\times(\prod_{i=l}^{mid}\frac{1}{1-a_ix})\) 与 \(F(x)\times(\prod_{i=mid+1}^{r}\frac{1}{1-a_ix})\)，根据上面那条性质算即可。
由于我们只需要求 \(x^0\) 的系数，所以分治时可以只保留 \(F(x)\times(\prod_{i=l}^r\frac{1}{1 - a_ix})\) 中有用的项（具体来说就是前 \(r-l+1\) 项），因此时间复杂度 \(O(n\log ^2 n)\)
然而这个方法只需要一次求逆得到 \(\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-a_ix}\)。
相关应用还没看，下次吧。
快速插值
从拉格朗日插值入手优化：\(F(x)=\sum_{i=1}^{n} y_i\times\frac{\prod_{j=1,j\not=i}^{n}(x-x_j)}{\prod_{j=1,j\not=i}^{m}(x_i-x_j)}\)。
首先考虑求出 \(k_i=\prod_{j=1,j\not=i}^{n}(x_i-x_j) = \lim_{x\to x_i}\frac{\prod_{j=1}^{n}(x_i-x_j)}{x-x_i}\)。记 \(G(x)=\prod_{j=1}^{n}(x-x_j)\)，洛必达一下得 \(k_i=G'(x_i)\)，多点求值即可。
考虑 \(F(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{y_i}{v_i}\prod_{j=1,j\not = i}^{n}(x-x_j)\)，可以考虑类 cdq 分治的方法求，即 \(F(x)=F_L(x)P_R(x)+F_R(x)P_L(x)\)（这里的 \(P\) 和上面的多点求值是同一定义）。
多项式复合
目前最优复杂度可以做 \(O((n\log n)^{1.5})\)，然而我不会，所以咕掉了。
复合即是给定 \(F(x)=\sum f_i x^i, G(x)=\sum g_i x^i\)，求 \(\sum f_i G^i(x)\)。
有一个比较好的替代复杂度为 \(O(n^2+n\sqrt{n}\log n)\)。
类似 BSGS，我们处理出 \(G^{i\times\sqrt{n}}(x)\) 与 \(G^i(x)\) 的 dft，然后 \(O(n^2)\) 暴力乘并卷回去。
复合逆也可以结合拉格朗日反演公式 + 分块做到 \(O(n^2 + n\sqrt{n}\log n)\)。
求复合 \(H = F\circ G\) 也可以考虑借助复合逆得到方程 \(F^{-1}\circ H = G\)，在复合逆更简洁（比如 \(F\) 是树的 EGF）时效果更好。
求复合逆显然你也可以牛顿迭代，不说了。
常系数齐次线性递推
真拗口。
用于解决 \(A(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) 在远处 \(x^n\) 的系数值，这里 \(\deg P = \deg Q - 1\)。
传统做法是求 \(x^n\bmod \hat Q(x)\) 的系数，其中 \(\hat Q\) 表示 \(Q\) 系数的翻转（或者说这个递推的特征多项式）。
证明方法一般是用的 Cayley - Hamilton 定理，不过总有点杀鸡用牛刀的感觉。
洛谷上有老哥用了其他方法解释（没咋看懂形式化的证明），不知道能不能直接从生成函数的角度推导。
Cayley - Hamilton 定理的证明可以参考 https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/104789846 。
考虑证 \(p(A) = O\)，实际上就是证 \(A\) 作用在任何向量上都是 \(\vec{0}\)。
这在 \(A\) 可对角化时是显然的，不可对角化时归纳证，即博客里的法三。
这里有一个新做法：https://www.luogu.com.cn/blog/EntropyIncreaser/solution-p4723 。由于没有实现过，并不清楚实际写起来怎么样。
update：草，上面那个新做法既好写（只需要多项式乘法）又跑得快（不加 EI 文中任何常数优化的情况下能够只跑 2s+ 的总时间）。
