CodeForces 1107F. Vasya and Endless Credits

题目简述：给定 $n \leq 500$ 个贷款方式，其中第$i$个贷款额为$a_i$元，需要$k_i$个月偿还，每月还贷$b_i$元。在每个月月初可申请其中一个贷款，而在每个月月底时需要还贷。求：（在某一时刻）可获得的最多贷款。

 

观察1：获得最多贷款的时刻一定在$n$月以内。

 

解1：（二分图最佳匹配，最小费用最大流）code

观察2：倒数第$j$个月申请的第$i$个贷款，在获得最多贷款的时刻之前，需要还贷$b_i\min\{k_i,j-1\}$元。

设$X$部有$n$个点，记为$X_i$，表示第$i$个贷款方式；$Y$部有$n$个点，记为$Y_j$。$X_i$和$Y_j$之间的连线表示倒数第$j$个月申请第$i$个贷款。

连边$(X_i, Y_j)$，权值为$\max\{a_i-b_i\min\{k_i,j-1\},0\}$。二分图最佳匹配即为答案。使用KM算法求二分图最佳匹配，时间复杂度为$O(n^3)$。

 

解2：（动态规划）code1 code2

观察3：在最优解中，第$n$个月仍未完成还贷的贷款方式的申请顺序按$b_i$递增。

将所有贷款方式按$b_i$降序排序后，设$F[i][j]$表示前$i$个贷款方式中【有$j$种贷款方式在第$n$个月仍未完成还贷】的最优解，则

$F[i][j] = \max\{ F[i-1][j]+\max\{a_i-b_i k_i, 0\}, F[i-1][j-1]+a_i-b_i(j-1) \},$

其中$F[0][0] = 0$，$F[i][j] = -\infty$ 若 $j < 0$，且$F[i][j] = 0$ 若 $j > i$。

时间复杂度为$O(n^2)$。