「网络流浅谈」网络流的概念
通常做题思路：问题转化为流网络，再通过最大流 / 最小割 / 费用流与问题之间的数量关系，求解出原问题。
网络流于其他算法不同，概念定理需要熟记于心，否则后面做题会有很大的障碍。
1. 流网络
一个流网络记作 \(G=(V,E)\)，其中 \(V\) 表示点集，\(E\) 表示边集。对于 \(\forall (u,v)\in E\)，都有一个容量记作 \(c(u,v)\)。由于是一张流网络，那肯定还应该有汇点与源点，通常记作 \(s,t\)。
如图，这就是一张流网络。
2. 可行流
对于每一个流网络，满足以下 \(2\) 个条件为可行流：
-
容量限制
记作：\(0\le f(u,v) \le c(u,v)\)，即流经每条边的流量不能超过他的限制。
-
流量守恒
记作：\(\sum_{(v,x)\in E}f(v,x)=\sum_{(x,v)\in E}f(x,v)\)，即除了源点与汇点之外，流入点 \(i\) 的总流量 \(=\) 流出点 \(i\) 的总流量。
可行流的流量 \(|f|\)，是指从源点流出的总流量。
即：\(|f|=\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)-\sum_{(v,s)\in E}f(v,s)\)
3. 残留网络
一般来说，残留网络记作 \(G_f=(V,E+!E)\)，其中 \(V,E\) 是源网络的边集和点集，\(!E\) 表示 \(E\) 中的所有反向边。
容量：
定理
\(f\) 为原网络的可行流，\(f'\) 为残留网络的可行流。
则有：\(f+f'\) 也是 \(G\) 的一个可行流且 \(|f+f'|=|f|+|f'|\)
证明：定义 \(f_{n}=f+f'\)，则 \(f_n(u,v)=f(u,v)+f'(u,v)\)（注意这里只考虑正向边），为了证明也是一个可行流，无非从 \(2\) 方面：容量限制和流量守恒。
容量限制：\(f'(u,v)\le c'(u,v)=c(u,v)-f(u,v)\)，所以 \(f(u,v)+f'(u,v)\le c(u,v)\)
流量守恒：因为 \(f(u,v)\) 满足流量守恒，\(f'(u,v)\) 也满足流量守恒，所以 \(f(u,v)+f'(u,v)\) 也满足流量守恒（这里只是略证，更多细节大家可以展开观察）。
4. 增广路径
在残留网络沿着容量大于 \(0\) 的边如果能够走到终点，这条路径称为增广路径。（注意：增广路径只是一条路径，而非一个网络）
5. 割
5.1 定义：
将点集 \(V\) 分成不重叠 \(S\) 和 \(T\)， 使得源点在\(S\)，汇点在 \(T\)。
5.2 割的容量
\(c(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T} c(u,v)\)
最小割： 最小的割的容量
5.3 割的流量
\(f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T} f(u,v)-\sum_{v\in S}\sum_{u\in T} f(u,v)\)
性质1： \(\forall [S,T], f(S,T)\le c(S,T)\)
证明： 由于 \(f(u,v)\) 是大于等于 \(0\) 的，所以 \(f(S,T)\le \sum_{u\in S}\sum_{v\in T} f(u,v)\)，又因为有容量，所以一定 \(\le \sum_{u\in S}\sum_{v\in T} c(u,v)\) ，故 \(\forall [S,T], f(S,T)\le c(S,T)\)
性质2： \(\forall [S,T], f(S,T)= |f|\)
证明2：
\(f(X,Y)=\sum_{u\in X}\sum_{v\in Y} f(u,v)-\sum_{v\in X}\sum_{u\in Y} f(u,v)\)
则：\(f(X,Y)=-f(Y,X)\)， \(f(X,X)=0\)，\(f(Z,X\cup Y)=f(Z,X)+f(Z,Y), X\cap Y= \varnothing\)
那么有：
那么 \(|f|=f(S,T)\le c(S,T)\)
即，\(|f|\le c(S,T)\)；故，最大流 \(\le\) 最小割
7. 最大流最小割定理
（1）可行流 \(f\) 是最大流
（2）\(G_f\) 中不存在增广路
（3）\(|f|=c(S,T)\)
在三个条件中，仅需知道 \(1\) 个，就能够推出另外 \(2\) 个，证明略。
