虚树学习笔记

好久没更学习笔记了。

算法简介

通常情况下，如果是对树上单点的询问，我们是用不到树上的所有点的。

换句话说，如果我们树上能用到的节点非常少，那我们就可以避免遍历整棵树，从而降低复杂度。

下面用一个题说。

消耗战/【模板】虚树

先想朴素的 dp 做法：设 \(f_i\) 表示 \(i\) 不与子树中任意一个关键点连接的最小代价。

枚举 \(i\) 的子树 \(v\)，则有转移方程：

• 若 \(v\) 不是关键点 \(f_i=f_i+\min(f_v,w(i,v))\)

• 若 \(v\) 是关键点 \(f_i=f_i+w(i,v)\)

非常简单对吧。

但是这个玩意是 \(O(nq)\) 的，根本跑不动。

但是 \(\sum k\) 比较小，所以我们考虑如果每次只遍历 \(k\) 个点，复杂度就可以控制住了。

然后再观察转移式子，发现 \(min(i,v)\) 这一项实际上是链上最小值，这个信息是轻松维护的，我们考虑建出虚树，对虚树 dp。

然后我们就可以考虑如何建虚树了。

一些定义

虚树上的节点我们称为关键点，关键点包含询问的节点和两两之间的 LCA。

方法一：两遍排序 LCA

先将关键点按 DFS 序排序后，两两求 LCA。

对选出来的点集去重后按 DFS 序排序，再两两求 LCA，并连边。

方法二：单调栈构建虚树

我们用单调栈维护虚树上的一条链，栈中的点在虚树上是相邻的，而且栈中自底向上 DFS 序递增。

然后我们就对不同的情况分讨即可。贴一个代码。

sort(h+1,h+1+k,cmp);
t=0;sta[++t]=h[1];
for(int i=2;i<=k;i++){
	int now=h[i],lca=LCA(now,sta[t]);
	while(1){
		if(dep[lca]>=dep[sta[t-1]]){
			if(lca!=sta[t]){
				M[lca].push_back(sta[t]);
				if(lca!=sta[t-1]) sta[t]=lca;
				else t--;
			}
			break;
		}else{
			M[sta[t-1]].push_back(sta[t]);
			t--;
		}
	}
	sta[++t]=now;
}
while(--t) M[sta[t]].push_back(sta[t+1]);

然后对着新生成的树正常跑 dp 即可。

撤销的时候按 DFS 序撤销，不要 memest 式清空，不然复杂度就退化了。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
constexpr int N = 2.5e5+10;
int dfn[N],dfx,siz[N],top[N],hson[N],fa[N],dep[N];
struct Edge{
	int v;
	ll w;
};
ll minv[N];
int n,m,k,h[N];
bool q[N];
vector<Edge> G[N];
vector<int> M[N];
void dfs1(int u,int f){
	fa[u]=f;siz[u]=1;dep[u]=dep[f]+1;
	for(auto to:G[u]){
		int v=to.v;
		if(v==f) continue;
		minv[v]=min(minv[u],to.w);
		dfs1(v,u);
		siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[hson[u]]) hson[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int tp){
	top[u]=tp;dfn[u]=++dfx;
	if(!hson[u]) return ;
	dfs2(hson[u],tp);
	for(auto to:G[u]){
		int v=to.v;
		if(v==fa[u] || v==hson[u]) continue;
		dfs2(v,v);
	}
}
int LCA(int x,int y){
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
		x=fa[top[x]];
	}
	return dep[x]<dep[y] ? x : y;
}
bool cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}
int sta[N],t;
ll dfs3(int u){
	ll sum=0,tmp;
	for(int v:M[u]){
		sum+=dfs3(v);
	}
	if(q[u])tmp=minv[u];
	else tmp=min(sum,minv[u]);
	q[u]=false;
	M[u].clear();
	return tmp;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	minv[1]=1e18;
	cin>>n;
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++){
		cin>>u>>v>>w;
		G[u].push_back({v,w});G[v].push_back({u,w});
	}
	dfs1(1,0);dfs2(1,1);
	cin>>m;
	while(m--){
		cin>>k;
		for(int i=1;i<=k;i++){
			cin>>h[i];q[h[i]]=1;
		}
		sort(h+1,h+1+k,cmp);
		t=0;sta[++t]=h[1];
		for(int i=2;i<=k;i++){
			int now=h[i],lca=LCA(now,sta[t]);
			while(1){
				if(dep[lca]>=dep[sta[t-1]]){
					if(lca!=sta[t]){
						M[lca].push_back(sta[t]);
						if(lca!=sta[t-1]) sta[t]=lca;
						else t--;
					}
					break;
				}else{
					M[sta[t-1]].push_back(sta[t]);
					t--;
				}
			}
			sta[++t]=now;
		}
		while(--t) M[sta[t]].push_back(sta[t+1]);
		cout << dfs3(sta[1]) << '\n';
	}
	return 0;
}