Kruskal重构树学习笔记

简介

根据算法名称，我们知道他跟 Kruskal 算法应有关联，所以得先学 Kruskal 算法。
至于重构树的用处，只能说很有用而且有很强大的性质。
可以解决形如：从 \(x\) 到 \(y\) 的路径，不经过(大于\小于) \(val\) 类的问题。

构建

依据 Kruskal 算法，贪心地选取边 \((x,y)\) 时，新建一个 \(now\) 节点，然后将 \(now\) 与 \(find(x)\) ，\(now\) 与 \(find(y)\) 分别连边，\(now\) 的点权就是原先 \(x\) 与 \(y\) 的边权。

性质

根据构建的方式，就可以得到几个很强大的性质。

  1. 重构树是一棵二叉树。
  2. 具有堆的性质，具体的，如果是最小\大生成树，就是大\小根堆。
  3. 两点的 LCA 是重构树上两点间路径的最大值\最小值。

具体而言，看例题。

例题

货车运输

发现 \(x\) 到 \(y\) 的路径中，只需要保留一条最大的即可，然后就可以对整个图做最大生成树，然后根据上面的性质，两点的 LCA 就是我们想要的答案，直接新开数组维护即可。
code：

#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>

using namespace std;
const int N=1e5+50;
const int M=5e5+50;
int n,m,q;
struct Edge{
	int to,nxt,w;
}e[2*M];
int head[2*M],tot;
struct node{
	int x,y,w;
}a[2*M];
bool cmp(node a,node b){
	return a.w>b.w;
}
void add(int u,int v,int w){
	e[++tot].to=v;
	e[tot].nxt=head[u];
	e[tot].w=w;
	head[u]=tot;
	return ;
}
int dep[N],fa[N],f[N][30],w[N][30];
bool vis[N];
int find(int x){
	if(fa[x]==x) return x;
	else return fa[x]=find(fa[x]);
}
void dfs(int u){
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(vis[v]) continue;
		vis[v]=1;
		dep[v]=dep[u]+1;
		f[v][0]=u;
		w[v][0]=e[i].w;
		dfs(v);
	}
	return ;
}
void kruskal(){
	sort(a+1,a+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int p=find(a[i].x);
		int q=find(a[i].y);
		if(p==q) continue;
		fa[p]=q;
		add(a[i].x,a[i].y,a[i].w);
		add(a[i].y,a[i].x,a[i].w);
	}
	return ;
}
int lca(int x,int y){
	if(find(x)!=find(y)) return -1;
	int ans=2e9;
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=25;i>=0;i--){
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
			ans=min(ans,w[x][i]);
			x=f[x][i];
		}
	}
//	cout<<"q"<<ans<<endl;
	if(x==y) return ans;
	for(int i=25;i>=0;i--){
		if(f[x][i]!=f[y][i]){
			ans=min(ans,min(w[x][i],w[y][i]));
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	ans=min(ans,min(w[x][0],w[y][0]));
	return ans;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y,w;
		cin>>x>>y>>w;
		a[i].x=x;
		a[i].y=y;
		a[i].w=w;
	}
	kruskal();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			dep[i]=1;
			vis[i]=1;
			dfs(i);
			f[i][0]=i;
			w[i][0]=2e9;
		}
	}
	for(int i=1;i<=25;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
			w[j][i]=min(w[f[j][i-1]][i-1],w[j][i-1]);
		}
	}
	cin>>q;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		int ans=lca(x,y);
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}

Stranded Far From Home (Day2)

仔细阅读题目后，观察到关键性质：
如果我们想令颜色 \(x\) 成为最后颜色，那么需要令 \(x\) 先吞掉所有他能吞掉的，然后再去其它颜色。
具体而言，当我们构建完重构树后，另 \(x\) 与 \(y\) 中点权较大值为新节点 \(now\) 的点权。
对于重构树的叶子节点，就表示每个村庄的人数。
对于非叶子节点 \(x\) ，我们可以认为它表示某一个颜色已经吞掉了 \(x\) 所包含的所有子树村庄。
而 \(x\) 想吞并别的村庄，需要 \(x\) 的子树和大于等于它的父亲，进而吞掉父亲节点，以及整棵以父亲节点为根的子树。
最后只需要知道是否能一直吞，吞到根节点即可。
code：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
const int inf=1e9;
int n,m,tot;
long long num[2*maxn],val[2*maxn];
int fa[maxn*2+10];
int ans[maxn*2];
vector<int> vec[2*maxn];
struct node{
	int x,y;
	long long w;
}e[maxn];
bool cmp(node a,node b){
	return a.w<b.w;
}
int find(int x){
	if(x==fa[x]) return x;
	else return fa[x]=find(fa[x]);
}
void dfs(int u,int f){
	if(num[u]>=val[f]){
		ans[u]=(ans[u]||ans[f]);
	}
	for(int i=0;i<(int)vec[u].size();i++){
		if(vec[u][i]==f) continue;
		dfs(vec[u][i],u);
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>num[i];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>e[i].x>>e[i].y;
		e[i].w=max(num[e[i].x],num[e[i].y]);
	}
	for(int i=1;i<=2*n;i++){
		fa[i]=i;
	}
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	tot=n;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=find(e[i].x);
		int y=find(e[i].y);
		if(x==y) continue;
		fa[x]=fa[y]=++tot;
		num[tot]=num[x]+num[y];
		val[tot]=e[i].w;
		vec[tot].push_back(x);
		vec[tot].push_back(y);
	}
	ans[tot]=1;
	dfs(tot,tot);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<ans[i];
	}
	return 0;
}

[NOI2018] 归程

SPFA最短路好题

发现水位线比较难处理，处理完水位线后就是简单的最短路了。
既然水位线难处理，那就先说处理完水位线怎么做：预处理 \(1\) 到其余点的最短路，然后在处理完后的点集中选取 \(v\) 可到达节点中取最小 \(dis\) 。
对于海拔做最大生成树后重构，发现如果节点 \(x\) 没有被淹，那么它的所有子树也没有被淹，也就是可以无代价地去子树中任何一点。
多开一个数组 p 维护重构树上每个点到达节点 \(1\) 的最小值，每个节点的答案就是以节点为根的子树最小值，DFS 维护一下，倍增跳就行。
code：

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=400010;
const int M=800010;
const int inf=2e9;
int T,n,m,q,k,s;
int dis[N];
bool vis[N];
int dep[N],f[N][30];
int lastans;
struct node{
	int u,v,l,a;
}e[M],p[N<<1];
bool cmp(node a,node b){
	return a.a>b.a;
}
//e是边，p维护最短路径和
struct Edge{
	int to,nxt,val;
}G[M];
int head[N],totx;
//G是原图
struct Tree{
	int to,nxt;
}tr[M];
int hd[N],cntx;
//tr是重构树
int fa[N<<1];
int find(int x){if(x==fa[x]) return x;return fa[x]=find(fa[x]);}
void addtr(int u,int v){
	tr[++cntx].to=v;
	tr[cntx].nxt=hd[u];
	hd[u]=cntx;
	return ;
}
void addG(int u,int v,int w){
	G[++totx].to=v;
	G[totx].nxt=head[u];
	G[totx].val=w;
	head[u]=totx;
	return ;
}
struct Dij{
	int x,w;
	bool operator < (const Dij a) const{
		return a.w<w;
	}
};
//dij时优先队列用
void dij(){
	priority_queue<Dij> que;
	que.push({1,0});
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf;
	dis[1]=0;
	while(!que.empty()){
		Dij u=que.top();que.pop();
		if(vis[u.x]) continue;
		vis[u.x]=1;
		for(int i=head[u.x];i;i=G[i].nxt){
			int v=G[i].to;
			if(vis[v]) continue;
			dis[v]=min(dis[v],dis[u.x]+G[i].val);
			que.push({v,dis[v]});
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i].l=dis[i];
	return ;
}
void dfs(int u,int fa){
	f[u][0]=fa;
	dep[u]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;i<=19;i++) f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	for(int i=hd[u];i;i=tr[i].nxt){
		int v=tr[i].to;
		dfs(v,u);
		p[u].l=min(p[u].l,p[v].l);
	}
	return ;
}
int query(int x,int y){
	for(int i=19;i>=0;i--) if(dep[x]-(1<<i) > 0 && p[f[x][i]].a>y) x=f[x][i];
	return p[x].l;
}
void Kruskal(){
	for(int i=1;i<=(n<<1);i++) fa[i]=i;
	int tot=0,cnt=n;
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int fu=find(e[i].u);
		int fv=find(e[i].v);
		if(fu!=fv){
			addtr(++cnt,fu);
			addtr(cnt,fv);
			fa[fu]=cnt;fa[fv]=cnt;
			p[cnt].a=e[i].a;
			++tot;
		}
		if(tot==n-1) break;
	}
	dfs(cnt,0);
	while(q--){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		x=(x+k*lastans-1)%n+1;
		y=(y+k*lastans)%(s+1);
		lastans=query(x,y);
		cout<<lastans<<'\n';
	}
}
void init(){
	memset(e,0,sizeof(e));
	memset(head,0,sizeof(head));
	memset(hd,0,sizeof(hd));
	memset(f,0,sizeof(f));
	cntx=0,totx=0;
	return ;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>T;
	while(T--){
		lastans=0;
		cin>>n>>m;
		init();
		for(int i=1;i<=m;i++){
			cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].l>>e[i].a;
			addG(e[i].u,e[i].v,e[i].l);
			addG(e[i].v,e[i].u,e[i].l);
		}
		for(int i=n;i<=(n<<1);i++) p[i].l=inf;
		dij();
		cin>>q>>k>>s;
		Kruskal();
	}
	return 0;
}

什么你问我为什么是 dij ，不是 SPFA 最短路好题吗。

posted @ 2025-04-19 15:16  Tighnari  阅读(35)  评论(0)    收藏  举报