2025.3.4数学听课笔记

容斥原理

子集容斥：

N个条件，已知（可以快速求出）不满足某些条件的人数。通过容斥原理求出满足所有条件的人数。
Ans=总人数-不满足条件1-不满足条件2-……+不满足条件一也不满足条件二+……-不满足条件一二三。
数学式子如下：

\[\sum_{i=1}^{s} (-1)^s \times \text {count}(s) \]

证明略。

矩阵乘法

加法，乘法

加法：对应位置相加即可。
乘法：

\[C{_i}{_j}=\sum_{t=1}^{m}A{_i}{_,}{_t}\times B_{t,j} \]

方便记忆：
将矩阵 \(A\) 看作一个 \(n\) 行的向量，\(B\) 看作 \(k\) 列的向量，最后得出的矩阵就是 \(a_i · b_j\)
具有结合律，分配律。无交换律

矩阵加速线性递推

如斐波那契数列，要求\(f_n\)。
可得\([f_{n-1},f_n]=[f_0,f_1]\times \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{bmatrix} ^{(n-1)}\)
重点在于找到转移的矩阵。

#include<iostream>
#include<cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int p=1e9+7;
const int N=5;
int n,k;
struct node{
	long long a[N][N];
	node(){memset(a,0,sizeof(a));};
};
node a,ans;
void init(node &x){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x.a[i][i]=1;
	}
	return;
}
node operator * (const node x,const node y){
	node res;
	memset(res.a,0,sizeof(res.a));
	for(int k=1;k<=2;k++){
		for(int i=1;i<=2;i++){
			for(int j=1;j<=2;j++){
				res.a[i][j]=(res.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%p)%p;
			}
		}
	}
	return res;
}
void qpow(node a,int b){
	ans.a[1][1]=1;ans.a[1][2]=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return ;
}
signed main(){
	cin>>n;
	if(n<=2){
		cout<<1;
		return 0;
	}
	a.a[1][1]=1,a.a[1][2]=1;
	a.a[2][1]=1,a.a[2][2]=0;
	qpow(a,n-1);
	cout<<ans.a[1][2]%p;
	return 0;
}

矩阵快速幂

单位矩阵\(\text I=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\)
直接快速幂就可以了

#include<iostream>
#include<cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int p=1e9+7;
const int N=110;
int n,k;
struct node{
	long long a[N][N];
};
node a;
void init(node &x){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x.a[i][i]=1;
	}
	return;
}
node operator * (const node x,const node y){
	node res;
	memset(res.a,0,sizeof(res.a));
	for(int k=1;k<=n;k++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				res.a[i][j]=(res.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%p)%p;
			}
		}
	}
	return res;
}
node ans;
void qpow(node a,int b){
	init(ans);
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return ;
}
signed main(){
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>a.a[i][j];
		}
	}
	qpow(a,k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cout<<ans.a[i][j]<<' ';
		}
		cout<<'\n';
	}
	return 0;
}

高斯消元

N 元一次方程组求解
其实就是加减消元，最后变成一元一次方程，求出解后再慢慢带回原式。
如果最后的方程无解，会出现\(0≠0\)。
如果最后的方程多解，会出现\(0=0\)。

球形空间产生器

推一下式子，然后直接做就行。

#include<iostream>
#include<cmath>
#define eps 1e-7
using namespace std;
int n;
double c[12][12];
double a[12][12];
double ans[12];
void gj(){
	int p;
	for(int i=1,w=1;i<=n && w<=n;i++,w++){
		p=w;
		for(int j=w+1;j<=n;j++){
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[p][i])) p=j;
		}
		if(p!=w) swap(a[w],a[p]);
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(w!=j){
				for(int k=n+1;k>=w;k--){
					a[j][k]-=a[j][i]/a[w][i]*a[w][k];
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>c[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			a[i][j]=2*(c[i][j]-c[i+1][j]);
			a[i][n+1]+=c[i][j]*c[i][j]-c[i+1][j]*c[i+1][j];
		}
	}
	gj();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("%0.3lf ",ans[i]);
	}
	return 0;
}

线性基

在异或背景下，求异或和，会有多少种可能的异或值。

线性基三大性质

1. 原序列里面的任意一个数都可以由线性基里面的一些数异或得到。

2. 线性基里面的任意一些数异或起来都不能得到0。

3. 线性基里面的数的个数唯一，并且在保持性质一的前提下，数的个数是最少的。

cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	long long x;
	cin>>x;
	for(long long j=51;j>=0;j--){
		if(x & (long long)1 << j){
			if(!d[j]){
				d[j]=x;
				break;
			}else{
				x^=d[j];
			}
		}
	}
}
long long ans=0;
for(int j=51;j>=0;j--){
	if((ans^d[j])>ans) ans^=d[j];
}cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	long long x;
	cin>>x;
	for(long long j=51;j>=0;j--){
		if(x & (long long)1 << j){
			if(!d[j]){
				d[j]=x;
				break;
			}else{
				x^=d[j];
			}
		}
	}
}
long long ans=0;
for(int j=51;j>=0;j--){
	if((ans^d[j])>ans) ans^=d[j];
}

斯特林数

第一类：有 n 个数，分成 m 个互不区分的非空轮换的方案数。
第二类：有 n 个数，分成 m 个互不区分的非空子集的方案数。
递推公式：

\[S_1[n][m]=(n-1)\times s_1[n-1][m]+s_1[n-1][m-1] \]

\[S_2[n][m]=S_2[n-1][m-1]+m\times S_2[n-1][m] \]

卡特兰数

形式化描述：

1. 从原点开始向右上或右下走，走到 \((2n,0)\) 的方案数。
2. 有 \(2n\) 长的括号序列的合法序列方案数。

\[H_n= \begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2n\\ n-1 \end{pmatrix} \]