2025.2.20-2.25做题记录
补题内容：最小生成树，拓扑排序，直径，重心，LCA
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首先应想到乘法原理：一条边能做出的贡献为：该边的权值 \(\times\) 经历该边的路径方案数。而路径方案数的统计可以用 \(cnt\) 数组解决，正常拓扑即可。拓扑是为了避免计算未统计完信息的节点。注意别少取模了，少一个都 WA 。
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e4+50;
const int M=5e4+50;
const int p=10000;
struct Edge{
int to,nxt,w;
}e[M];
int head[M],tot;
int cnt[N],dis[N];
int in[N];
queue<int> que;
void add(int u,int v,int w){
e[++tot].to=v;
e[tot].nxt=head[u];
e[tot].w=w;
head[u]=tot;
return ;
}
int n,m,s,t,t0;
signed main(){
cin>>n>>m>>s>>t>>t0;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v,w;
cin>>u>>v>>w;
add(u,v,w);
in[v]++;
}
cnt[s]=1;
que.push(s);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(in[i]==0 && i!=s){
que.push(i);
}
}
while(!que.empty()){
int u=que.front();
que.pop();
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
in[v]--;
dis[v]=dis[v]%p+dis[u]%p+e[i].w%p*cnt[u]%p;
dis[v]%=p;
cnt[v]=(cnt[v]%p+cnt[u]%p)%p;
if(in[v]==0){
que.push(v);
}
}
}
cout<<(dis[t]%p+t0%p*(cnt[t]-1)%p)%p;
return 0;
}
兽径管理
对于每一周重新跑一遍 kruskal 显然是 \(O(w^2logw)\) 的复杂度，秉持着不如试一试的态度，发现过不了。考虑优化：不能离线处理， kruskal 需要排序，所以理论复杂度不能优化了。那么考虑减少 kruskal 的次数，时光倒流！加边改为删边。记录每一次最小生成树的用的边，只要没有删到用的边，就直接继承答案，否则重新计算，如果某一次计算时不连通，那么之前也一定不连通。
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=300;
int n,w;
int fa[N];
int find(int x){
if(fa[x]==x) return x;
else return fa[x]=find(fa[x]);
}
struct node{
int x,y,w,id;
}e[12050],ee[12050];
bool vis[6050],use[6050];
int ans[6050];
bool cmp(node a,node b){
return a.w<b.w;
}
int kruskal(){
for(int i=1;i<=n;i++){
fa[i]=i;
}
for(int i=1;i<=w;i++){
vis[i]=0;
}
int ans=0,sum=0;
for(int i=1;i<=w;i++){
if(use[e[i].id]) continue;
int p=find(e[i].x);
int q=find(e[i].y);
if(p==q) continue;
vis[e[i].id]=1;
fa[p]=q;
ans+=e[i].w;
sum++;
}
if(sum<n-1) return -1;
else return ans;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n>>w;
for(int i=1;i<=w;i++){
int x,y,w;
cin>>x>>y>>w;
e[i].x=x;
e[i].y=y;
e[i].w=w;
e[i].id=i;
}
sort(e+1,e+1+w,cmp);
ans[w]=kruskal();
for(int i=w-1;i>=1;i--){
use[i+1]=1;
if(vis[i+1]){
ans[i]=kruskal();
}
else{
ans[i]=ans[i+1];
}
if(ans[i]==-1){
for(int j=1;j<i;j++){
ans[j]=-1;
}
}
}
for(int i=1;i<=w;i++){
cout<<ans[i]<<'\n';
}
return 0;
}
松鼠的新家
树上差分板子题：统计答案就跑一遍 dfs 即可。
树上差分：利用差分数组的思想，肯定会在 x 和 y 上加1，考虑在哪里消除影响呢？他们的 lca 会加两遍，所以要在 lca 上减一，那么 lca 以上是不是也会受影响？是的，所以要在 lca 的父亲上减一，那么本题就完成了。
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=3e5+50;
int n,a[N],dis[N],t;
int dep[N],f[N][30];
int ans[N];
vector<int> vec[N];
void dfs1(int u,int fa){
dep[u]=dep[fa]+1;
f[u][0]=fa;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
}
for(int i=0;i<vec[u].size();i++){
int v=vec[u][i];
if(v==fa) continue;
dfs1(v,u);
}
return ;
}
int lca(int x,int y){
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
int temp=dep[x]-dep[y];
for(int i=0;(1<<i)<=temp;i++){
if((1<<i)&temp){
x=f[x][i];
}
}
if(x==y) return x;
for(int i=t;i>=0;i--){
if(f[x][i]!=f[y][i]){
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return f[x][0];
}
void dfs(int u,int fa){
ans[u]=dis[u];
for(int i=0;i<vec[u].size();i++){
int v=vec[u][i];
if(v==fa) continue;
dfs(v,u);
ans[u]+=ans[v];
}
return;
}
int main(){
cin>>n;
t=log2(n)+1;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
vec[u].push_back(v);
vec[v].push_back(u);
}
dfs1(a[1],0);
dis[a[1]]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
int l=lca(a[i-1],a[i]);
dis[a[i-1]]++;
dis[a[i]]++;
dis[l]--;
dis[f[l][0]]--;
}
dfs(a[1],0);
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<ans[i]-1<<'\n';
}
return 0;
}
树上询问
观察性质后分讨题。
如果两个点的 lca 就是 c 点，那么太轻松了，只要不是包含 a ，b 的子树的节点，都可以作为根节点出现。
如果 c 在 x 去 lca 的路径上，那么答案就是 c 的大小 \(-\) lca 的子树中包含 a 的子树大小。（可能有点抽象，画画图，看看代码）。
如果 c 在 y 去 lca 的路径上，同上。
如果都不是，那么就是无解，输出 \(0\) 。
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=5e5+50;
vector<int> vec[N];
int n,q,cnt;
int dfn[N],siz[N],dep[N],f[N][35];
void dfs(int u,int fa){
dep[u]=dep[fa]+1;
siz[u]=1;
f[u][0]=fa;
dfn[u]=++cnt;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
}
for(int i=0;i<vec[u].size();i++){
int v=vec[u][i];
if(v==fa) continue;
dfs(v,u);
siz[u]+=siz[v];
}
return ;
}
int lca(int x,int y){
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=30;i>=0;i--){
if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
x=f[x][i];
}
}
if(x==y) return x;
for(int i=30;i>=0;i--){
if(f[x][i]!=f[y][i]){
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return f[x][0];
}
int asksiz(int u,int fa){
if(u==fa) return 0;
for(int i=30;i>=0;i--){
if(dfn[f[u][i]]>dfn[fa]){
u=f[u][i];
}
}
return siz[u];
}
bool is(int u,int fa){
return (dfn[fa]<=dfn[u] && dfn[fa]+siz[fa]-1>=dfn[u]);
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>q;
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
vec[u].push_back(v);
vec[v].push_back(u);
}
dfs(1,0);
for(int i=1;i<=q;i++){
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
if(lca(a,b)==c){
cout<<n-asksiz(a,c)-asksiz(b,c)<<"\n";
}else if(is(a,c) && !is(b,c)){
cout<<siz[c]-asksiz(a,c)<<'\n';
}else if(is(b,c) && !is(a,c)){
cout<<siz[c]-asksiz(b,c)<<'\n';
}else{
cout<<0<<'\n';
}
}
return 0;
}
货车运输
读完题发现不会。考虑对于两个点，选择他们之间的路径时，我们一定会保留最小值最大的路径，删去其余路径。那么考虑构建最大生成树，能保证在不改变连通的情况下，保留下来尽可能大的边，然后就可以做 lca 了。对于求路径上的最小值，做法与 lca 类似，\(w{_i}{_j}\) 表示以 \(i\) 为节点，向上跳 \(2^j\) 期间的最小值。
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e5+50;
const int M=5e5+50;
int n,m,q;
struct Edge{
int to,nxt,w;
}e[2*M];
int head[2*M],tot;
struct node{
int x,y,w;
}a[2*M];
bool cmp(node a,node b){
return a.w>b.w;
}
void add(int u,int v,int w){
e[++tot].to=v;
e[tot].nxt=head[u];
e[tot].w=w;
head[u]=tot;
return ;
}
int dep[N],fa[N],f[N][30],w[N][30];
bool vis[N];
int find(int x){
if(fa[x]==x) return x;
else return fa[x]=find(fa[x]);
}
void dfs(int u){
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(vis[v]) continue;
vis[v]=1;
dep[v]=dep[u]+1;
f[v][0]=u;
w[v][0]=e[i].w;
dfs(v);
}
return ;
}
void kruskal(){
sort(a+1,a+1+m,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++){
fa[i]=i;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int p=find(a[i].x);
int q=find(a[i].y);
if(p==q) continue;
fa[p]=q;
add(a[i].x,a[i].y,a[i].w);
add(a[i].y,a[i].x,a[i].w);
}
return ;
}
int lca(int x,int y){
if(find(x)!=find(y)) return -1;
int ans=2e9;
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=25;i>=0;i--){
if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
ans=min(ans,w[x][i]);
x=f[x][i];
}
}
// cout<<"q"<<ans<<endl;
if(x==y) return ans;
for(int i=25;i>=0;i--){
if(f[x][i]!=f[y][i]){
ans=min(ans,min(w[x][i],w[y][i]));
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
ans=min(ans,min(w[x][0],w[y][0]));
return ans;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y,w;
cin>>x>>y>>w;
a[i].x=x;
a[i].y=y;
a[i].w=w;
}
kruskal();
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
dep[i]=1;
vis[i]=1;
dfs(i);
f[i][0]=i;
w[i][0]=2e9;
}
}
for(int i=1;i<=25;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
w[j][i]=min(w[f[j][i-1]][i-1],w[j][i-1]);
}
}
cin>>q;
for(int i=1;i<=q;i++){
int x,y;
cin>>x>>y;
int ans=lca(x,y);
cout<<ans<<'\n';
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号