MX-2025 盖世计划 C 班 Day 13 复盘

数论（部分 NOI）

乘法逆元、欧拉定理、裴属定理、exCRT、BSGS、整除分块……

裴属定理

对于 \(\gcd(a,b)=1\)，存在 \(ax+by=1\)。

很简单？定义上是的，虽然他被认为是一切数论的基石。

很多数论结论都是以裴属定理为基础的。

exCRT

为啥不讲 CRT 呢？因为 exCRT 完胜 CRT。

1. 码量、时空相当；
2. ex 适用范围更广。

CRT 你废物吗

exCRT 解决的是线性同余方程组问题，方法是将方程组转化为 \(n\) 个 0/1 同余方程组，然后用 exgcd 求解，合并后得到原方程组的解。

BSGS

Baby Step, Giant Step.

在 \(\mathrm{O}(\sqrt{m})\) 的时间复杂度求解 \(a^x\equiv b\pmod{m}\) 的答案。

有用，但不多。主要学习他的思想。

整除分块

暴力出奇迹

容易发现，\(\lfloor\dfrac{k}{i}\rfloor\) 在一定区间内相等，于是计算出区间进行分块，块内暴力求解。