MX-2025 盖世计划 C 班 Day 12 复盘

模拟赛

\(100+0+20+0=120\)

T1

黄/绿。

给定一个 \(n\) 个点的完全图，每个点有一个点权 \(a_i\)，定义每条边 \(<u,v>\) 的边权为 \(a_u+a_v\)。给出 \(q\) 组询问 \([L,R]\)，求仅由 \([L,R]\) 号点构成的完全图的最小生成树的权值为多少？

\(1\le n,q\le 10^5,1\le a_i\le 10^9\)

思路

坑爹数据包，竟然开了子任务依赖！

前缀和+ST 表

先说结论：\(\text{ans}=\sum\limits_{i=L}^{R}a_i+\min\limits_{i=L}^{R}\{a_i\}\times(R-L-1)\)。

为什么构造这么一颗以最小点权为根的菊花是最优解呢？

首先，设这个菊花为 \(S\)，假设存在最优解，则其中一个非根节点必然指向另一个非根节点，而根据边权的定义，这样的修改只会使答案变劣，所以 \(S\) 就是最优解。Q.E.D.

P.S. 本人场上不会写 ST 表，遂用线段树代替，所以 ST 表屁用没有。

T2

紫

给定一个数 \(x\)，给定 \(k\) 次机会，每次可以选择：

• \(x\leftarrow x-1\)；
• \(x\leftarrow x\)；
• \(x\leftarrow x+1\)。

求对于 \(y\in\\[0,n\\]\)，有多少种方案使得 \(x=y\)，答案对 \(998244353\) 取模。

思路

显然，已知最终状态，则考虑倒序 DP。

T3

蓝

给定一个包含 \(n\) 个数的数列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，当且仅当 \(a_i\operatorname{and} a_j=0\) 时，\(a_i\) 与 \(a_j\) 可以交换。

求经过任意次交换后字典序最小的数列。

思路

显然，\(\operatorname{and}\) 具有传递性，于是考虑图论。

若两个数 \(a_i,a_j\) 可以交换，则建立一条 \(<i,j>\) 的无向边。然后，对于每一个环，sort。最终，拼接得到答案。

T4

紫

（无）