# DP 定义的选择：以`nums[i]`结尾 vs 前`i`个元素

核心区别

定义方式	含义	适用场景
dp[i] = 以 nums[i] 结尾	强制包含第 i 个元素	子序列/子数组有连续性或依赖末尾元素的问题
dp[i] = 前 i 个元素的最优解	不强制包含第 i 个元素	可以自由选择是否使用第 i 个元素

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关键判断依据

🔑 问法1：以nums[i]结尾

当下一个状态依赖当前元素的值时使用

需要知道"上一个选的元素是什么"才能判断能否转移
         ↓
必须固定末尾元素 → 用"以nums[i]结尾"

特征：

• 转移条件涉及元素大小比较（如递增、递减）
• 最终答案需要遍历整个 dp 数组取最大值
• 典型：dp[j] < dp[i] 这类比较

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🔑 问法2：前i个元素

当只关心用了多少个元素，不关心最后选的是谁时使用

第 i 个元素只有"选"或"不选"两种状态
         ↓
不需要知道上一个选的具体值 → 用"前i个"

特征：

• 转移只需要索引位置，不需要元素具体值的比较
• 最终答案通常直接是 dp[n]
• 典型：背包问题、编辑距离

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对比例题

例1：最长递增子序列 LIS → 用"结尾"

必须用"以nums[i]结尾"

原因：判断 nums[j] 能否接在 nums[i] 前面
      需要知道当前子序列的末尾值是多少
      
dp[i] = 以nums[i]结尾的最长递增子序列长度

转移：if (nums[j] < nums[i])  ← 依赖末尾元素的值
          dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

答案：max(dp[0], dp[1], ..., dp[n-1])  ← 需要遍历全部

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例2：0-1背包 → 用"前i个"

必须用"前i个"

原因：物品只有选/不选，不需要知道上一个选了哪个物品
      只需要知道"用了前几个物品，容量还剩多少"

dp[i][w] = 前i个物品，容量为w时的最大价值

转移：dp[i][w] = max(dp[i-1][w],          ← 不选第i个
                     dp[i-1][w-weight[i]] + value[i])  ← 选第i个

答案：dp[n][W]  ← 直接取最后一个

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例3：最长公共子序列 LCS → 用"前i个"

dp[i][j] = s1前i个字符 与 s2前j个字符 的LCS长度

转移：if s1[i] == s2[j]:
          dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
      else:
          dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

答案：dp[m][n]  ← 直接取最后一个

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例4：最大子数组和 → 用"结尾"

dp[i] = 以nums[i]结尾的最大子数组和

原因：子数组必须连续！
      需要知道上一段是否值得"接上来"
      
转移：dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])
              ↑ 重新开始      ↑ 接在前面

答案：max(dp[0..n-1])  ← 需要遍历全部

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总结规律

问自己一个问题：
"转移时，我需要知道上一个选的元素的具体值吗？"

        ┌─── 需要（如：比大小、连续性）
        │         → 以 nums[i] 结尾
        │         → 答案 = max(dp[])
        │
        └─── 不需要（如：选/不选、匹配）
                  → 前 i 个元素
                  → 答案 = dp[n]

题目	定义	原因
最长递增子序列	以nums[i]结尾	需比较元素大小
最大子数组和	以nums[i]结尾	需判断是否连续接上
0-1背包	前i个物品	只关心选没选
最长公共子序列	前i个字符	只关心匹配了几个
编辑距离	前i个字符	只关心操作了几次
打家劫舍	前i个房子	只关心选没选