<转载>一般筛法和快速线性筛法求素数

原文：https://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550

素数总是一个比较常涉及到的内容，掌握求素数的方法是一项基本功。

基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数，直接枚举因子2 。。N^(0.5) ，看看能否整除N。

如果需要判断的次数较多，则先用下面介绍的办法预处理。

 

 一般的线性筛法

首先先介绍一般的线性筛法求素数

 1 void make_prime()  {    
 2     memset(prime, 1, sizeof(prime));
 3     prime[0]=false;
 4     prime[1]=false;
 5     int N=31700;
 6     for (int i=2;  i<N;  i++)
 7 
 8         if (prime[i]) {
 9 
10             primes[++cnt ]=i;
11 
12             for (int k=i*i; k<N; k+=i)
13                 prime[k]=false;
14         }
15     return;
16 }

 

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i ,  比 i*2 要快点 )，把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。

但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

 

快速线性筛法

快速线性筛法没有冗余，不会重复筛除一个数，所以“几乎”是线性的，虽然从代码上分析，时间复杂度并不是O(n)。先上代码

 

 

首先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。

不管 i 是否是素数，都会执行到“关键处1”，

 

①如果 i 都是是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之间不相等

 

②如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数（2<=i<=n），  pi<=pj  ( i<=j )

p1是最小的系数。

根据“关键处2”的定义，当p1==prime[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于p1的质数*i。

 

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5

此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i

如果能筛除3*i 的话，当 i' 等于 i'=3*3*5 时，筛除2*i' 就和前面重复了。

 

需要证明的东西：

  1. 一个数会不会被重复筛除。
  2. 合数肯定会被干掉。

根据上面红字的条件，现在分析一个数会不会被重复筛除。

设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数（1<=i<=n)  ,  pi<=pj ( i<=j ) 

当 i = 2 时，就是上面①的情况，

当 i >2 时， 就是上面②的情况， 对于 i ，第一个能满足筛除 x 的数  y 必然为 y=p2*p3...*pn（p2可以与p1相等或不等），而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。

 

证明合数肯定会被干掉？ 用归纳法吧。

 

 类比一个模型，比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ，1<=i<=n, 1<=j<=n,

我们会这么写

for (i=1; i<n; ++i )

  for (j=i+1; j<=n; ++j)

   {

    .....

   }

我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理，不过这里比较难理解，没那么直观。

 

 第一种的优化，先判断奇偶。

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 const long N = 200000;
 4 long prime[N] = {0},num_prime = 0;
 5 int isNotPrime[N] = {1, 1};
 6 int main()
 7 {
 8     for(long i = 2 ; i < N ; i ++)
 9 
10     {
11         if(! isNotPrime[i])
12         prime[num_prime ++]=i; //关键处1
13         for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++)
14         {
15             isNotPrime[i * prime[j]] = 1;
16             if( !(i % prime[j] ) )  //关键处2
17                 break;
18         }
19     }
20     return 0;
21 }

 

      还有一种方法，即第一篇博客说的，实际上是幼拉脱斯展纳筛法，但只是作为学术，不怎么常用

 1 int * eratosthenes(int n) {
 2     int a=sqrt(n);
 3     int* array=new int[n+1];
 4     for(int i=0; i<n+1; i++) {
 5         array[i]=i;
 6     }
 7     array[1]=0;
 8     for(int i=2; i<a+1; i++) {
 9         if(array[i]!=0) {
10             for(int j=i+i; j<n+1; j+=i) {
11                 array[j]=0;
12             }
13         }
14     }
15     return array;
16 }
    1. 打印质数的各种算法 http://coolshell.cn/articles/3738.html  里面有个用C++模板实现的，纯属开阔眼界，不怎么实用。

　　　　　  2.检查素数的正则表达式  http://coolshell.cn/articles/2704.html  数字n用  1111。。1 （n个1）表示，纯属坑爹。

转载原文：http://blog.csdn.net/bobodem/article/details/49386119

posted @ 2016-11-02 22:13  佰大于  阅读(249)  评论(0)  编辑  收藏  举报