Codeforces Round #670 (Div. 2) 详细题解

A. Subset Mex

题意

给出 $t$ 个样例, 每个样例中包含一个序列长度 $n$ 以及对应位置的值 $a_i$

现将序列拆分为两个集合 $A$ 、$B$，使得 $mex(A)+mex(B)$ 最大

其中 $mex( 空集 )$ = $0$ .

其中 $mex()$ 运算得到的值为集合中 the smallest non-negative integer that doesn't exist in the set【没有出现在集合中的最小非负整数】

思路

对 mex() 的性质可以得到，要是的结果最大，即分给的两个集合最小非负整数最大。

贪心的思想，每一次取使得mex最大即可（两次遍历）

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 105;
int a[maxn];
int main(){
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		int n;
		cin>>n;
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			int x; cin>>x;
			a[x]++;	
		}
		int pos1,pos2;
		for(int i=0;i<=101;i++){
			if(a[i] <= 0) {
				pos1 = i;
				break;
			}else a[i]--;
		}
		for(int i=0;i<=101;i++){
			if(a[i] <= 0) {
				pos2 = i;
				break;
			}
		}
		cout<<pos1+pos2<<endl;
	}
}

B. Maximum Product

题意

给一个长度大于 $5$ 的序列, 使得取出序列中的 $5$ 个不同位置的值乘积最大

思路

考虑贪心，将序列排序，正数即为从大到小取的乘积，但是负数会有影响。负数的取值是从小到达【因为绝对值大小】，且要保证取的个数尽可能为偶数（奇数还是负数）

可以采取枚举方法，在正取 $i$个和逆向取 $n-i$ 个进行组合，$i \in 5$的范围，求出最值。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS cin.tie(0);std::ios::sync_with_stdio(false);
using namespace std;
const int maxn=1e5+100;
typedef long long LL;
LL a[maxn],b[maxn];
bool cmp(LL a,LL b)
{
	return a>b;
}
int main(){
    IOS
    LL t;cin>>t;
    while(t--){
        LL n;cin>>n;
        for(LL i=0;i<=n+10;i++) a[i]=b[i]=0;
        for(LL i=1;i<=n;i++) {
            cin>>a[i];b[i]=a[i];
        }
        sort(a+1,a+1+n);//小到大
        sort(b+1,b+1+n,cmp);//大到小
        LL ans=-1e18;
        for(LL i=0;i<=5;i++){//拿0,1,2,3,4,5个 
            LL j=5-i;LL sum=1;
            for(LL k=1;k<=i;k++){
                sum*=a[k];
            }
            for(LL k=1;k<=j;k++){
                sum*=b[k];
            }
            ans=max(ans,sum);
        } 
    	cout<<ans<<endl;
    }
	return 0;
}

C. Link Cut Centroids

题意

给出一棵树，你需要通过先任意删除一条边再任意增加一条边，使得树的重心个数只有一个，且仍满足为树的形式。

【重心】：删除该点以及相邻边后，所形成的最大联通块【最大子树结点个数最少】最小。且一棵树最多有两个重心, 同时两个重心相邻【此题核心】

思路

如果这棵树只有一个重心，那么任意删除并增加同一条边即可

如果这棵树有两个重心，那么删除两个重心路径之间的任意一边，然后增加上一边使得其中一个删除后连通块更大。假设两个重心为 $x,y$ 同时 $x$ 为 $y$ 的父节点，那么只需要【取下$y$子树上的叶子并连接到$x$上即可】

cut a leaf from y's subtree and link it with x. After that, x becomes the only centroid.

还有一个问题，如何找到重心：

在 DFS 中计算每个子树的大小，记录“向下”的子树的最大大小，利用总点数 - 当前子树（这里的子树指有根树的子树）的大小得到“向上”的子树的大小。在该问题中将 $1$ 作为树的根节点即可

code

#include<bits/stdc++.h>
#define _for(i,a,b) for( int i=(a); i<(b); ++i)
#define _rep(i,a,b) for( int i=(a); i<=(b); ++i)
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
vector<int>g[maxn];
int minn;
int fa[maxn],siz[maxn];
int c1,c2;
int n;
void dfs(int x,int f){
	fa[x] = f,siz[x] = 1;
	int mx = 0;
	for(int y:g[x]){
		if(y==f) continue;
		dfs(y,x);
		siz[x] += siz[y];
		mx = max(mx,siz[y]);
	}
	mx = max(mx,n-siz[x]);//x最为根，上面的树大小 
	if(mx<minn) minn = mx,c1 = x,c2 = 0;
	else if(mx == minn) c2 = x;//第二个重心 
}
int L;//叶子结点 
void dfs2(int x,int f){
	if(g[x].size() == 1){
		L = x;
		return;
	}
	for(int y:g[x]){
		if(y==f) continue;
		dfs2(y,x);
	}
}
int main(){
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>n;
		minn = 1e9;
		_rep(i,1,n) g[i].clear(),fa[i] = 0;
		_for(i,1,n){
			int u,v;
			cin>>u>>v;
			g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);	
		}
		dfs(1,0);
		//只有一个重心 
		if(!c2){
			//删除 根 1 的任意一边 
			cout<<"1 "<<g[1][0]<<endl;
			cout<<"1 "<<g[1][0]<<endl;
		}else{
			//假设c1为c2的父节点
			if(fa[c1] != c2) swap(c1,c2);
			dfs2(c1,c2);
			//删除作为父节点的子树叶子并连接在另一个重心上 
			cout<<L<<' '<<fa[L]<<endl;
			cout<<L<<' '<<c2<<endl;
		}
	}
}

D. Three Sequences

题意

给定一个长为 $n$ 序列, 你需要构造两个序列 $b$ , $c$ 使得

$for$ $every $ $i ,(1≤i≤n) b_i+c_i = a_i$
b is non-decreasing, which means that for every $1<i≤n$, $bi≥bi−1$must hold【b是非单调递减序列】
c is non-increasing, which means that for every $1<i≤n$ ,$ci≤ci−1$must hold【c是非单调递增序列】

构造出 $b$ , $c$ 后，你需要使得 $max(b_i,c_i)$ 最小

同时还有$q$ 次操作，第 $i$ 次操作使得 $[l,r]$ 增加 $x$ ,对于每一次修改后都要输出 $max(b_i,c_i)$

思路

从题意中即可得 $ans = max(b_n,c_1)$

对于区间修改可以使用树状数组，也可以使用差分

转化一下数学模型可以将$a_i$ 视为下列分布的点， y 轴为 $a_i$ 的值， x 轴为序列序号

要使得 b,c 满足单减单增，则必须满足 $bi>a_i$ 并且 $b_i \leq b_{i-1}$ .

所以如下图所示，如果采用贪心的思路，将 $b_1 = a_1 = c_1$ ，那么依次递推则可以得到贪心所得解.

如果对所有的点进行一次贪心取，最有解即可得到全部解. 由于序列长 $n\in 1e5$ 所以，这种 $n^2$ 的方法不可取

$a_i>a_{i-1}then$ $b_i=b_{i−1}+a_i−a_{i−1}$ $and$ $c_i=c_{i−1}$

Else if $ a_i<a_{i−1}$ $then$ $b_i=b_{i−1}$ $but$ $c_i=c_{i−1}+a_i−a{i−1}$

所以由次规律计算 $\sum max(0,a_i-a_{i-1})$ 得到结果假设为 $K$ ,$c_1$的值假设为 $x$,那么 $b_n$ 最后结果即为 $a_1-x+K$,所以我们只需将$max(x,a_1-x+K)$ 最小化即可

其中$K$ 为定值，所以 $x=a_1-x+K$ 时即为最小，两个一次函数的交点

所以在改变时，考虑 $a_l-a_{l-1}$ 与 $a_r - a_{r-1}$ 即可【差分性质】

code

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn = 1e5+5;
ll a[maxn];
ll sumg = 0,suml = 0;
int n;
void cg(int x,ll y){
	if(x>n)return;
	if(a[x]>0) sumg-=a[x];
	a[x]+=y;
	if(a[x]>0) sumg+=a[x];
}
int main(){
    IOS
    cin>>n;
    _for(i,1,n){
        cin>>a[i];
        if(i>=2){
            if(a[i]-a[i-1]>0) sumg += a[i]-a[i-1];
            //else suml += a[i-1]-a[i];
        }
    }
    for(int i=n;i;i--) a[i] = a[i] - a[i-1];
    ll a1 = a[1];
    ll ans = (ll)ceil((double)(a1+sumg)/2.0);
    cout<<ans<<endl;
    int q;
    cin>>q;
    _for(i,1,q){
        int l,r;
        ll x;
        cin>>l>>r>>x;
        if(l==1) a1+=x;
        else cg(l,x);
        cg(r+1,-x);
        //cout<<c[l]<<' '<<c[r+1]<<endl;
        ll ans = (ll)ceil((double)(a1+sumg)/2.0);
        cout<<ans<<endl;
    }
}