多路查找树

　　特点：每个结点的孩子可以有多于两个孩子，且每个结点处可存放多个元素，所以元素之间存在某种特定的排序关系

B-树:

  • 一颗m阶的B-树，或为空树，或为满足下列特性的m叉树
  1. 树中每个结点至多有m颗子树；
  2. 除根节点之外的所有非终端结点至少有 ┍ m/2 ┑ 颗子树
  3. 若根节点不是叶子结点，则至少有两颗子树
  4. 所有的叶子结点都必须出现在同一层次上，
  5. 所有的非终端结点最多有m-1个关键字
 1 #define  m 3                        //B-树的阶，暂定为3
 2 
 3 typedef struct BTNode{
 4     int keynum;                        //结点中关键字的个数，结点的大小
 5     struct BTNode *parent;            //指向双亲结点
 6     KeyType k[m+1];                    //关键字数组，0号单元不使用
 7     struct BTNode *ptr[m+1];        //子树指针数组
 8     Record *recptr[m+1];            //记录指针数组，0号元素未用
 9 }BTNode,*BTree;                        //B-树结点和B-树类型
10 
11 typedef struct{
12     BTNode *pt;                        //指向找到的结点
13     int i;                            //1..m，在结点中的关键字序号
14     int tag;                        //1：查找成功；0：查找失败
15 }Result;                            //B-树的查询结果类型
  • 查找：

　　将给定值key与根节点的各个关键字K₁,K₂,...,Kj（1≤j≤m-1）进行比较，由于该关键字序列有序，所以查找时可采用顺序查找，也可采用二分查找。查找时：

  1. 若key=Ki(1≤i≤j)，则查找成功
  2. 若key<k₁，则顺着P0所指向的子树继续向下查找
  3. 若Ki<key<i+1(1≤i≤j-1),则顺着Pi所指向的子树继续向下查找
  4. 若key>Kj，则顺着指针Pj所指向的子树继续向下查找

　　如果在自上而下的查找过程中，找到了值为key的关键字，则查找成功；但如果直到叶子结点也未找到，则查找失败。

Result SearchTree(BTree T,Keytype key){
    //在m阶B-树T上查找关键字key,返回结果（pt,i,tag）
    //若查找成功，则特征值tag=1，指针pt所指向结点中第i个关键字等于key
    //若特征值tag=0，等于key的关键字应该插入在指针pt所指向结点中第i和第u+1个关键字之间
    BTree p=T,q=NULL;
    bool fount=FALSE;
    int i=0;
    while(p&&!fount){
        i=Search(p,key);
        //在p->K[1,,keynum]中查找i,使得p->K[i]<=key<p->k[i+1]
        if(i>0&&p->K[i]==key) fount=TRUE;//找到待查找关键字
        else {q=p;p=p->ptr[i];}
    }
    if(fount) return (p,i,1);//查找成功
    else return (q,i,0);//查找不成功，返回key的插入位置信息
}

　　可见，在B-树中进行查找包含两个基本操作：1、在B-树中找到结点；（硬盘中进行）2、在结点中找到关键字（内存中进行）

　　该查关键字所在结点在B-树上的层数，是决定B-树查找效率的首要因素

  • 插入：

　　由于B-树中除根之外的所有非终端结点中的关键字个数必须大于等于┍ m/2 ┑-1，因此，每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点，而是首先在最低成某个非终端结点中添加一个关键字，若该结点个关键字个数不超过m-1，则插入完成，否则表明结点已满，要产生新结点的“分裂”。

　　分裂方法：以中间关键字为界把结点一分为二，称为两个结点，并把中间关键字向上插入到双亲结点上，若双亲结点已满则采用同样的方法继续分解。最坏的情况下，一直分解到根结点，这时B-树的高度加1。

  1. 在B-树中查找给定关键字的记录，若查找成功，则插入的操作失败；否则将新纪录作为空指针ap插入到查找到失败的叶子结点的上一层结点（由q指向）中
  2. 若插入新纪录和空指针后，q指向的结点关键字个数未超过m-1，则插入操作成功，否者转向步骤 3
  3. 以该结点的第┍ m/2 ┑个关键字为拆分处，将该结点分为3部分：┍ m/2 ┑左边部分，第┍ m/2 ┑个关键字，┍ m/2 ┑右边部分。然后：┍ m/2 ┑左边部分仍然保留在原结点中；┍ m/2 ┑右边部分存放在一个新建立的结点（由ap指向）中；关键字值为┍ m/2 ┑的记录和指针ap插入到q的双亲结点中。因q的双亲结点添加一个新的记录，所以必须对q的双亲结点的重复步骤2和步骤3。以此类推，直到由q指向的结点是根结点，转向步骤4
  4. 由于根结点无双亲，则分裂产生的两个结点的指针q和ap，以及关键字为第┍ m/2 ┑个记录构成一个新的根结点（二结点）。此时，B-树的高度增加1。
 1 Status InsertBTree(BTree &T,Keytype key,BTree q,int i){
 2     //在m阶B-树T上结点*q的K[i]与K[i+1]之间插入关键字key
 3     //若引起节点过大，则沿双亲链表进行必要的结点分裂调整，使T仍然是m阶B-树
 4     Keytype x=key;//x表示新插入的关键字
 5     BTree ap=NULL;
 6     bool finished=FALSH;
 7     while(q&&!finished){
 8         Insert(q,i,x,ap);//将x和ap分别插入到q->key[i+1]和q->ptr[i+1]上
 9         if(!q->keynum<m) finished=TRUE;//插入完成
10         else{
11             s=(m+1)/2;
12             split(q,s,ap);//结点为分割两半，右边一般存储在ap中
13             x=q->k[s];
14             q=q->parent;
15             if(q) i=Search(q,x);//在双亲结点*q中查找x的插入位置
16         }
17     }
18     if(!finished)//T是空树（参数q的初始值为NULL）或者根结点已经分裂称了*q和*ap
19         NewRoot(T,q,x,ap);//生成含信息（T,x,ap）的新的根结点*T,原T和ap为子树指针
20     return OK;
21 }
  • 删除：

　　m阶B-树的删除操作是在B-树的某个结点中删除指定的关键字记附近的一个指针，删除后应给进行调整使该树仍然满足B-树的定义，也就是保证每个结点的关键字数目范围为 [┍ m/2 ┑-1，m-1]。删除记录之后，结点的关键字个数如果小于┍ m/2 ┑-1，则要进行“合并”结点的操作。除了删除记录，还要删除该记录附近的指针。若该结点为最下层的非终端结点，由于指针均为空，删除记录后不会影响其他结点，可直接删除；若不是最下层的非终端结点，临近指针则指向一棵树，不可删除。所以可以转化为删除最下非层终端节点的问题

　　转化方法：将要删除记录用其右（左）边邻近指针的指向的子树中关键字最小（最大）的记录（该记录必在最下层的终端结点中）替换。采用这种方法进行处理，无论是删除记录是否在最下层非终端结点，都可以归结为在最下层的非终端结点中删除记录的情况。而删除最下层非终端结点中的关键字情形有3中可能

  1. 被删关键字所在结点中的关键字数目不小于┍ m/2 ┑：直接删除即可
  2. 被删关键字所在结点中的关键字数目等于┍ m/2 ┑-1：将兄弟结点中最小（或最大）的关键字上移至双亲结点中，而将双亲结点中小于（或大于）且紧靠该上移关键字的关键字下移至被删除关键字所在结点中
  3. 被删除关键字所在结点和其相邻的兄弟结点中关键字数目均等于┍ m/2 ┑-1：它所在的结点中剩余的关键字和指针，加上双亲结点中个关键字Ki一起，合并到Pi所指兄弟结点中。如果因此双亲结点中关键字数目小于┍ m/2 ┑-1，则依次类推做相应处理

B+树

  • 概念：B+树是B树的一个升级版，相对于B树来说，B+树更充分的利用了节点的空间，让查询速度更加稳定，其速度完全接近于二分法查找。为什么说B+树查找的效率要比B树更高、更稳定；我们先看看两者的区别
  • 一颗 m 阶 B- 树和 B+ 树的区别：
  1. 有n颗子树的结点中含有n个关键字
  2. 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，以及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字大小自小而大的顺序链接
  3. 所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树（根结点）中的最大（或最小）关键字

　　通常在B+树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。因此，可以对B+树进行两种查找运算：一是从最小关键字其顺序查找，另一种是从根节点开始，进行随机查找（在B+树上进行随机查找、插入和删除的过程上基本与B-树类似）

  • 查找：若非终端结点上的关键字等于给定值，并不终止，而是继续向下直到叶子结点。因此，在B+树中，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根节点到叶子结点的路径。B+树查找的分析类似于B-树（B+树不仅能有效的查找某个关键字，而且更适合查找某范围的内的所有关键字）
  • 插入：仅在叶子结点上进行插入，当结点中的关键字个数大于m时要分裂两个结点，它们所含关键字的个数分别为┕m/2┙和┍ m/2 ┑；并且，它们的双亲结点中间应同时包含这两个结点中的最大关键字。
  • 删除：B+树的删除也仅在叶子结点进行，当叶子结点中最大关键字被删除时，其在非终端结点中的值可以作为一个“分界关键字”存在。若因删除而使结点中关键字的个数少于┍ m/2 ┑时，其和兄弟结点的合并过程也与B-树类似。

B*树

  • 规则
    B*树是B+树的变种，相对于B+树他们的不同之处如下：
  1. 首先是关键字个数限制问题，B+树初始化的关键字初始化个数是cei(m/2)，b树的初始化个数为（cei(2/3m)）
  2. B+树节点满时就会分裂，而B*树节点满时会检查兄弟节点是否满（因为每个节点都有指向兄弟的指针），如果兄弟节点未满则向兄弟节点转移关键字，如果兄弟节点已满，则从当前节点和兄弟节点各拿出1/3的数据创建一个新的节点出来；
  • 特点
    在B+树的基础上因其初始化的容量变大，使得节点空间使用率更高，而又存有兄弟节点的指针，可以向兄弟节点转移关键字的特性使得B*树额分解次数变得更少；

B树总结

  1. 相同思想和策略：从平衡二叉树、B树、B+树、B*树总体来看它们的贯彻的思想是相同的，都是采用二分法和数据平衡策略来提升查找数据的速度；
  2. 不同的方式的磁盘空间利用：不同点是他们一个一个在演变的过程中通过IO从磁盘读取数据的原理进行一步步的演变，每一次演变都是为了让节点的空间更合理的运用起来，从而使树的层级减少达到快速查找数据的目的；