Luogu P4585 【[FJOI2015]火星商店问题】

Description

传送门

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Solution

其实这题是没有必要使用可持久化\(Trie\)的。

首先建立一颗线段树，每个节点维护它所代表的那些商店的商品的标价所构成的\(Trie\)。

这样如果没有时间上的限制，我们可以将每次的询问拆成对于\(log(n)\)个线段树上的节点的询问，每次在\(Trie\)上花费\(log(w)\)的时间复杂度查询最大值，然后对所有答案取\(max\)即为所求答案。

注意这里时间的限制是一个后缀，也就是说是从某个历史节点延续的目前节点的，那么可以对于每个\(Trie\)上的点记录最后遍历到的时间，这样\(d\)时间以前的就是记录的时间\(<\)目前时间\(- d + 1\)的节点。这些节点实际上在\(Trie\)上式没有的，在查询的时候直接将它们忽略即可。

对于每个商店的特殊商品，将它们最后遍历到的时间赋值为\(INF\)即可，这些特殊商品的存在也保证了每哥询问一定有解。

综上，由于\(n\)和\(w\)同级，时间复杂度为\(O(log^2n)\)，空间复杂度为\(O(log^2n)\)。

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Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 100000;
const int INF = 0x7fffffff;

int n, m, root[(N << 2) + 50], num, tim[30000050], trie[30000050][2], cnt;

void Read(int &x)
{
    x = 0; int p = 0; char st = getchar();
    while (st < '0' || st > '9') p = (st == '-'), st = getchar();
    while (st >= '0' && st <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + st - '0', st = getchar();
    x = p ? -x : x;
    return;
}

void Insert(int &root, int val, int id)
{
    if (!root) root = ++num;
    int now = root;
    for (int i = 17; i >= 0; i--)
    {
        int c = ((val >> i) & 1);
        if (!trie[now][c]) trie[now][c] = ++num;
        now = trie[now][c]; tim[now] = max(tim[now], id);
    } 
    return;
}

int Ans(int root, int val, int id)
{
    int ans = 0, now = root;
    for (int i = 17; i >= 0; i--)
    {
        int c = ((val >> i) & 1);
        if (trie[now][c ^ 1] && tim[trie[now][c ^ 1]] >= cnt - id + 1) 
            now = trie[now][c ^ 1], ans = ans + (1 << i);
        else now = trie[now][c];
    }
    return ans;
}

void Change(int k, int l, int r, int pos, int val, int tim)
{
    Insert(root[k], val, tim);
    if (l == r) return; 
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (pos <= mid) Change(k << 1, l, mid, pos, val, tim);
    else Change(k << 1 | 1, mid + 1, r, pos, val, tim);
    return;
}

int Query(int k, int l, int r, int x, int y, int val, int tim)
{
    if (x <= l && r <= y) return Ans(root[k], val, tim);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (y <= mid) return Query(k << 1, l, mid, x, y, val, tim);
    else if (x > mid) return Query(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, val, tim);
    else return max(Query(k << 1, l, mid, x, y, val, tim), Query(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, val, tim));
}

int main()
{
    Read(n); Read(m);
    for (int i = 1, x; i <= n; i++) Read(x), Change(1, 1, n, i, x, INF);
    int p, l, r, x, d, s, val;
    while (m--)
    {
        Read(p);
        if (p)
        {
            Read(l); Read(r); Read(x); Read(d);
            printf("%d\n", Query(1, 1, n, l, r, x, d));
        }
        else
        {
            cnt++;
            Read(s); Read(val);
            Change(1, 1, n, s, val, cnt);
        }
    }
    return 0;
}