外部排序中多路归并排序，采用败者树比胜者树更优的原因和简易证明

外部排序中多路归并排序，采用败者树较优的原因

在外部排序中，多路归并排序采用败者树的优点主要有以下原因：

多路归并排序过程

多路归并是指对\(r\)个初始归并段，做\(k\)路平衡归并
过程如下：

• 每趟归并时，对\(k\)个已有序归并段进行归并
• 第\(i\)个归并段最小值为\(X_i\)，每次取\(X_j=\min\{X_1,X_2,...,X_k\}\)，并添加到序列\(Q\)的尾部
• 删去原\(X_j\)，\(X_j\)更新为第\(j\)个归并段下一个最小值，以此类推直至所有归并段内的元素都被添加至\(Q\)中

需求和约束

1. 需要动态地维护\(k\)个元素的最小值\(A\)
2. 每次删去最小值\(A\)，并添加元素\(B\)，保证\(B \geq A\)

最小败者树(Min Loser Tree)使用要求

1. 每次仅支持修改最小值

胜者树与败者树比较

• 败者树中最小值节点修改后向上更新父节点仅需访问1个节点：父节点
• 胜者树中最小值节点修改后向上更新父节点需要访问2个节点：父节点，兄弟节点

证明比胜者树更优

设被修改节点原值为\(X\)，新值为\(X'\)，兄弟节点值为\(Y\)，父节点值为\(F\)，需要得到父节点新值\(F'\)

• 败者树中：从最小值向上到根节点的路径上，\(F=Y\)恒成立，故每次仅需访问父节点，得到\(F'=\min(X',F)\)，并更新其值
• 胜者树中：从最小值向上到根节点的路径上，\(F=X\)恒成立，故每次需要访问兄弟节点，得到\(F'=\min(X',Y)\)，并访问父节点以更新其值