2022.2.23#杂项新大陆

2022-02-23

注定开启新大陆

 

快速幂：参考算法学习笔记(4)：快速幂 - 知乎 (zhihu.com)

从O(N)到O(logN)，巨快

递归：

//递归快速幂
int qpow(int a, int n)
{
    if (n == 0)
        return 1;
    else if (n % 2 == 1)
        return qpow(a, n - 1) * a;
    else
    {
        int temp = qpow(a, n / 2);
        return temp * temp;
    }
}

非递归：

//非递归快速幂
int qpow(int a, int n){
    int ans = 1;
    while(n){
        if(n&1)        //如果n的当前末位为1
            ans *= a;  //ans乘上当前的a
        a *= a;        //a自乘
        n >>= 1;       //n往右移一位
    }
    return ans;
}

非递归快速幂可以进行拓展，拓展到矩阵去哦！

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关于数论：

真的牛批！转载自同余相关算法小结 - 知乎 (zhihu.com)

10进制下mod 1，3，9与该数各位mod 1，3，9得到的数一样。

 

给你一个正整数  ，每次将所有位数加起来得到一个新的数，直到新的数只有一位。输出最后的结果。

思路

以  进行举例：

如果把数按十进制展开：

每一次操作实质上是将每一位的权值（十位的10，百位的100）变成了1。

如果只是将10变成1，我们可以考虑：

• 
• 
• 
• ......

但是，我们同时需要将100，1000甚至100000....都变成1，所以，只有对9取模才能达到这样的效果。

由离散数学，在这里  变成了一个等价类，只有同余关系满足自反，对称和传递性，所以才满足条件。

所以本题只需要求出该数对9取模的数就好了。

但存在一个特殊情况是：  ，所以应该特判答案为0的情况。

ps：数学是一切的基础

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矩阵代码运算：参考自矩阵 - OI Wiki (oi-wiki.org)

矩阵相乘：

A*B=C

for:ijk

A[i][k]

B[k][j]

C[i][j]

// 我常用的
inline mat operator*(const mat& T) const {
  mat res;
  for (int i = 0; i < sz; ++i)
    for (int j = 0; j < sz; ++j)
      for (int k = 0; k < sz; ++k) {
        res.a[i][j] += mul(a[i][k], T.a[k][j]);
        res.a[i][j] %= MOD;
      }
  return res;
}

// 改善方法版本
inline mat operator*(const mat& T) const {
  mat res;
  int r;
  for (int i = 0; i < sz; ++i)
    for (int k = 0; k < sz; ++k) {
      r = a[i][k];
      for (int j = 0; j < sz; ++j)
        res.a[i][j] += T.a[k][j] * r, res.a[i][j] %= MOD;
    }
  return res;
}