【笔记/模板】圆方树

圆方树

定义

圆方树是一种常见的将无向图转化为树上操作的方法。顾名思义，圆方树上有两类点：圆点，即无向图原始的点；方点，每个极大点双连通分量中的一个点，与该连通分量中的所有圆点都有连边。

边双连通分量的定义如下：

对于一个无向图中的 极大 点双连通的子图，我们称这个子图为一个 点双连通分量。

了解了点双连通分量之后，圆方树就有了很多完美的性质：

1. 有树的性质，树上的每两个点之间有且只有一条边。
2. 原无向图中的所有点都断开来了，同一个连通分量中的圆点连向同一个方点，因此圆方树上的每条边连接着一个圆点和一个方点。
3. 方点个数为连通分量数，圆点编号为初始编号，方点编号均大于 \(n\)，总点数小于 \(2n\)。
4. 原图上两点之间互相到达必须经过的点为圆方树上两点路径上的圆点。

过程

由于要找出所有点双连通分量，因此直接套板子即可。

void tarjan(int ver)
{
    dfn[ver] = low[ver] = ++ timestamp;
    stk[++ stk_top] = ver;

    for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
    {
        int to = e[i];
        if (!dfn[to])
        {
            tarjan(to);
            low[ver] = min(low[ver], low[to]);
            if (dfn[ver] == low[to])
            {
                int temp = 0;
                ++ dcc_cnt;
                do {
                    temp = stk[stk_top --];
                    add(rh, dcc_cnt, temp), add(rh, temp, dcc_cnt);
                } while (temp != to);
                add(rh, dcc_cnt, ver), add(rh, ver, dcc_cnt);
            }
        }
        else low[ver] = min(low[ver], dfn[to]);
    }
}

完成之后总点数即为 dcc_cnt，圆方树的图建在 rh[] 当中。

Reference

P4320 道路相遇 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

inline void add(int *h, int a, int b) { e[++ idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx; }

void tarjan(int ver)
{
    dfn[ver] = low[ver] = ++ timestamp;
    stk[++ stk_top] = ver;

    for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
    {
        int to = e[i];
        if (!dfn[to])
        {
            tarjan(to);
            low[ver] = min(low[ver], low[to]);
            if (dfn[ver] == low[to])
            {
                int temp = 0;
                ++ dcc_cnt;
                do {
                    temp = stk[stk_top --];
                    add(rh, dcc_cnt, temp), add(rh, temp, dcc_cnt);
                } while (temp != to);
                add(rh, dcc_cnt, ver), add(rh, ver, dcc_cnt);
            }
        }
        else low[ver] = min(low[ver], dfn[to]);
    }
}

void dfs1(int ver, int pre)
{
    sz[ver] = 1, depth[ver] = depth[pre] + 1, fa[ver] = pre;
    for (int i = rh[ver]; ~i; i = ne[i])
    {
        int to = e[i];
        if (to == pre) continue;
        dfs1(to, ver);
        sz[ver] += sz[to];
        
        if (!hson[ver] || sz[hson[ver]] < sz[to]) hson[ver] = to;
    }
}   

void dfs2(int ver, int topf)
{
    dfn[ver] = ++ timestamp, rk[timestamp] = ver, top[ver] = topf;
    if (hson[ver]) dfs2(hson[ver], topf);

    for (int i = rh[ver]; ~i; i = ne[i])
    {
        int to = e[i];
        if (to == fa[ver] || to == hson[ver]) continue;
        dfs2(to, to);
    }
}

struct SegsTree
{
    #define lc u << 1
    #define rc u << 1 | 1

    struct Node { int l, r, sum; } tr[N << 2];

    inline void pushup(int u) { tr[u].sum = tr[lc].sum + tr[rc].sum; }

    void build(int u, int l, int r)
    {
        tr[u].l = l, tr[u].r = r;
        if (l == r) return tr[u].sum = rk[l] <= n, void();
        int mid = l + r >> 1;
        build(lc, l, mid), build(rc, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }

    int query(int u, int l, int r)
    {
        if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1, res = 0;
        if (l <= mid) res += query(lc, l, r);
        if (r > mid) res += query(rc, l, r);
        return res;
    }
} SGT;

int range_query(int x, int y)
{
    int res = 0;
    while (top[x] != top[y])
    {
        if (depth[top[x]] < depth[top[y]]) swap(x, y);
        res += SGT.query(1, dfn[top[x]], dfn[x]);
        x = fa[top[x]];
    }
    if (depth[x] > depth[y]) swap(x, y);
    res += SGT.query(1, dfn[x], dfn[y]);
    return res;
}

signed main()
{
    memset(h, -1, sizeof h), memset(rh, -1, sizeof rh), idx = -1;
    read(n, m), dcc_cnt = n;

    for (int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        int a, b; read(a, b);
        add(h, a, b), add(h, b, a);
    }  
    tarjan(1);
    memset(dfn, 0, sizeof dfn), timestamp = 0;
    dfs1(1, 0), dfs2(1, 1);
    SGT.build(1, 1, dcc_cnt);

    read(q);
    while (q --)
    {
        int a, b; read(a, b);
        cout << range_query(a, b) << '\n';
    }
    return 0;
}

P4630 [APIO2018] 铁人两项 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

圆方树 - OI Wiki

P4606 [SDOI2018] 战略游戏 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态