CF1097G 题解

批评一下很多题解，感觉大部分都没搞懂自己在写什么。

然后这个 dp 设计确实很妙。（也许是我孤陋寡闻了）

题意

给你一棵有 \(n\) 个节点的树 \(T\)，\(n\) 个节点编号为 \(1\) 到 \(n\)。

对于 \(T\) 中每个非空的顶点的集合 \(X\)，令 \(f(X)\) 为包含 \(X\) 中每个节点的最小连通子树的最小边数。

再给你一个整数 \(k\)。你需要计算对于每一个顶点的集合 \(X\)，\((f(X))^k\) 之和，即：

\[\sum_{X\subseteq\{1,2,\dots,n\},X\neq\varnothing}(f(X))^k \]

\(2\leq n\leq 10^5,1\leq k\leq 200\)

题解

首先可以用斯特林数转成选 \(k\) 条边方案数的总和。

然后考虑一个 dp，\(f_{u,i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树，对于每个非空点集，选择 \(i\) 条边的方案数之和。

但这个 dp 不了，原因是我们无法考虑实际上生成树的根到 \(u\) 上的边，而在合并中这显然是重要的。

于是我们改状态，\(f_{u,i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树，对于每个非空点集，在生成树中的边和生成树的根到 \(u\) 上的边中，选择 \(i\) 条边的方案数之和。

这个就可以 dp。

于是就可以分讨了：

• 初始时 \(f_{u,0}=1\)（因为保证选点子集非空。）
• 只包含新子树，不选 \(u\)：\(f^{\prime}_{u,i}\leftarrow f^{\prime}_{u,i}+f_{v,i}+f_{v,i-1}\)。
• 原子树和新子树合并：\(f^{\prime}_{u,i+j(+1)}\leftarrow f^{\prime}_{u,i+j}+f_{u,i}f_{v,j}\)。

似乎没有考虑包含新子树和 \(u\) 的情况，但其实我们初始时的 \(dp_{u,0}\) 已经包含了。

哪里统计答案？我们发现是在原子树和新子树合并时才能得到一棵合法的树（或者是只选一个点也可以，但是只有 \(k=0\) 时才需要考虑）。

然后做完了吧，感觉比较妙的是把选或不选 \(u\) 的决策融进了转移中。