LCA（最近公共祖先问）算法
本篇提供 LCA 算法的介绍、倍增（二分提升）实现流程，以及个人的类模板。
什么是 LCA？
- 定义：在一棵以某个节点（通常是 1）为根的树中，给定两个节点 u, v，它们的 最近公共祖先（Lowest Common Ancestor, LCA） 是同时是 u 和 v 的祖先中，距离它们最近的那个节点。
为什么要用二分提升？
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暴力做法：每次查询 u, v 时，挨个往上跑，一个节点一个节点地向上找，会导致最坏 O(N) 时间，N≈树高。多次查询时太慢。
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二分提升思想：先预处理，让每个节点都记录“2^k 级祖先”（k=0,1,2…），这样查询时可以一次性“跳”大步向上，时间 O(log N)。
算法流程
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建树并跑一遍 DFS（或 BFS）
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记录每个节点的深度
depth[x] -
记录每个节点的直接父节点
fa[0][x]
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预处理 \(fa[k][i]\)
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对所有 k 从 1 到 \(⌊log₂N⌋\)，对所有节点 i：
fa[k][i] = fa[k-1][ fa[k-1][i] ] -
含义：\(fa[k][i]\) 是 i 的 2^k 级祖先。
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查询 LCA(u,v)
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第一步：让 u, v 深度对齐。若 \(depth[u]\) > \(depth[v]\)，就把 u 往上跳
depth[u]-depth[v]层；反之同理。 -
第二步：如果 u == v，直接返回；否则从大 k 开始往下尝试，让 u 和 v 同时朝它们的 2^k 级祖先跳，如果跳完后两者依然不相同，就继续往下 k-1 跳……
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最后跳不到更高才结束，此时
fa[0][u]就是答案。
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复杂度
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预处理：DFS O(N)，构造 fa 表 O(N log N)。
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单次查询：对齐深度 O(log N) + 搜索祖先 O(log N)，合计 O(log N)。
算法模板（C++）
class LCA {
private:
int n;
int LOG;
vector<vector<int>> adjlist;
vector<int> depth;
vector<vector<int>> fa;
void dfs(int u, int p) {
fa[0][u] = p;
depth[u] = p ? depth[p] + 1 : 0;
for(int v : adjlist[u]) {
if(v != p) {
dfs(v, u);
}
}
}
void init_lca(int root) {
dfs(root, 0);
fer(k, 1, LOG) {
fer(i, 1, n + 1) {
int mid = fa[k - 1][i];
fa[k][i] = mid ? fa[k - 1][mid] : 0;
}
}
}
public:
// 节点从 1 开始编号
LCA(const vector<vector<int>>& tree, int root)
: n(tree.size() - 1),
LOG(__lg(n) + 1),
adjlist(tree),
depth(n + 1, 0),
fa(LOG + 1, vector<int>(n + 1))
{
init_lca(root);
}
int query(int u, int v) {
if(depth[u] < depth[v]) swap(u, v);
int diff = depth[u] - depth[v];
// 深度对齐
fer(k, 0, LOG) {
if(diff & (1 << k)) {
u = fa[k][u];
}
}
if(u == v) return u;
ferd(k, LOG, 0) {
if(fa[k][u] && fa[k][u] != fa[k][v]) {
u = fa[k][u];
v = fa[k][v];
}
}
return fa[0][u];
}
};
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实现说明
dfs： 处理直接父亲，处理节点的深度init_lca(root)： 初始化操作，进行上面的dfs，并且初始化fa表（处理节点 \(i\) 的 \(2^k\) 级祖先）query(u, v)： 查询两个节点的 LCA
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使用说明
- n 是节点数
- 节点编号默认从 1 开始
- 根节点深度默认为 0
LCA算法的应用领域
LCA（最近公共祖先）看似只是树上的一个“公共节点”查询，实际上是很多树论、路径查询和树形 DP 的核心子模块。下面按几大类问题给你列举它的常见应用场景：
1. 路径长度／距离计算
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两点距离
\(dist(u,v)=depth[u]+depth[v]−2 depth[LCA(u,v)]. \text{dist}(u,v) = \text{depth}[u] + \text{depth}[v] - 2\,\text{depth}[\mathrm{LCA}(u,v)]\)
这是最直接的应用：给定两节点，O(1) 算出它们在树上的最短路径长度。
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路径上的节点／边数
nodes(u→v)=dist(u,v)+1,#edges(u→v)=dist(u,v). #\text{nodes}(u\to v)=\text{dist}(u,v)+1,\quad #\text{edges}(u\to v)=\text{dist}(u,v).
2. k-th 节点与祖先查询
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第 k 个祖先
在二分表up[k][v]上直接查：up[⌊\log₂k⌋][…]递推，O(log N) 得到第 k 级父亲。 -
路径上第 kth 个节点
先判断 k 是否在 u→LCA 段，或在 LCA→v 段，再用「跳 2^j 步」快速定位。
3. 路径区间查询（树链剖分／虚树）
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区间和／区间最值
结合 树链剖分（HLD）或 树上差分，把 u→v 的路径拆成 O(log N) 段，每段在线段树／BIT 上查询。LCA 用来断点分割路径。 -
虚树（Virtual Tree）
给定一组 m 个特殊节点，构造只含这些节点及其 LCA 的最小子树，规模 O(m log m)，很多「多源最短路」「费用流」题里都要先虚树化。
4. 树形 DP 与重心／直径
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树的直径
先任选一点 A，DFS 找最远点 B；再自 B 出发找最远点 C，距离就是直径。求路径时需 LCA(B,C) 来记录路径上节点。 -
树的中心（重心）
直径路径上任取中点（或二节点），用 LCA 快速判断。
5. 离线 LCA（Tarjan 算法）
- 当查询非常多且实时性不重要，可用 Tarjan 并查集 在线性时间（近 O(N+Q)）批量算完所有 LCA。
6. 其他衍生应用
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动态树／Link-Cut Tree：虽然结构变化更复杂，但内部仍需经常做祖先查询。
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字符串／Trie 最长公共前缀：把 Trie 当成树，LCA 就是两个字符串的最长公共前缀节点。
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进阶算法：如树上最近 k/距离约束查询、树上染色问题、网络流上的树形分层等等。
小结
只要你的题目中出现了“树上两点路径”、“祖先关系判断”、“路径汇总”或“子树合并”，LCA 几乎都一定排得上用场。掌握它，就等于为所有树形结构的高级题目打下了坚实基础。希望这些场景能帮你在赛场上更灵活地应用 LCA！
拓展
了解「\(Euler Tour + RMQ」\)方法，可实现 O(1) 查询，但预处理更复杂。
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