整数划分问题

整数的划分（Partition of an Integer）详解

1. 什么是整数划分

整数划分是指将一个正整数表示为一系列正整数之和的方式。顺序不同但数字相同的划分视为同一种划分。例如：

• 4的划分有：
  • 4
  • 3 + 1
  • 2 + 2
  • 2 + 1 + 1
  • 1 + 1 + 1 + 1

2. 递归方法实现

方法一：不考虑顺序的划分

#include <iostream>
using namespace std;

// 计算整数n的划分数，最大加数不超过m
int partition(int n, int m) {
    if (n == 0) return 1;  // 基本情况：0只有一种划分方式
    if (m == 0) return 0;  // 没有可用的加数
    if (n < m) return partition(n, n);  // 最大加数不能超过n本身
    // 划分中包含m的情况 + 不包含m的情况
    return partition(n - m, m) + partition(n, m - 1);
}

int main() {
    int n = 4;
    cout << "整数 " << n << " 的划分数为: " << partition(n, n) << endl;
    return 0;
}

方法二：输出所有划分方式

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void printPartitions(int n, int max, vector<int>& current) {
    if (n == 0) {
        // 找到一个划分，输出它
        for (int i = 0; i < current.size(); i++) {
            if (i != 0) cout << "+";
            cout << current[i];
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    
    for (int i = min(max, n); i >= 1; i--) {
        current.push_back(i);
        printPartitions(n - i, i, current);
        current.pop_back();
    }
}

int main() {
    int n = 4;
    vector<int> current;
    cout << "整数 " << n << " 的所有划分方式:" << endl;
    printPartitions(n, n, current);
    return 0;
}

3. 动态规划方法实现

递归方法效率较低，可以使用动态规划来优化：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int countPartitionsDP(int n) {
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));
    
    // 基本情况
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[0][i] = 1;  // 0只有一种划分方式
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (j > i) {
                dp[i][j] = dp[i][i];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
    }
    
    return dp[n][n];
}

int main() {
    int n = 4;
    cout << "整数 " << n << " 的划分数为: " << countPartitionsDP(n) << endl;
    return 0;
}

4. 算法分析

• 时间复杂度：

  • 递归方法：O(2^n)（指数级）
  • 动态规划：O(n^2)（多项式级）

• 空间复杂度：

  • 递归方法：O(n)（调用栈深度）
  • 动态规划：O(n^2)（二维数组）

5. 应用场景

整数划分问题在以下领域有应用：

• 组合数学
• 统计学中的分组问题
• 计算机科学中的资源分配问题
• 数论研究

6. 扩展

如果需要考虑划分顺序（即1+2+1和1+1+2视为不同划分），则问题变为"组合"问题，解决方案会更简单，总数为2^(n-1)种。